$G = S_3, A_3 = \{(1), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$ とする。
(a) $S_3$ の $A_3$ に関する左剰余類分解を求めよ。
(b) $S_3$ の $A_3$ に関する右剰余類分解を求めよ。
(c) 上記の問 (a), (b) より、$A_3$ について主張できることを述べよ。
(a)
$S_3$ の元は、$S_3 = \{(1), (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$ の6つである。
ここで、$(1\ 2\ 3) = (1\ 3) \circ (1\ 2), (1\ 3\ 2) = (1\ 2) \circ (1\ 3)$ と互換の積で表すことが出来る。
$S_3$ の $A_3$ に関する左剰余類分解を求めると
\begin{align}
[(1)] &= A_3 \\
[(1\ 2)] &= \{(1\ 2) \circ (1), (1\ 2) \circ (1\ 2\ 3), (1\ 2) \circ (1\ 3\ 2)\} \\
&= \{(1\ 2), (2\ 3), (1\ 3)\}
\end{align}
となり
\begin{align}
S_3 &= [(1)] \coprod [(1\ 2)]
\end{align}
と左剰余類分解することが出来る。
(b)
(a) と同様にして、$S_3$ の $A_3$ による右剰余類分解を求めると
\begin{align}
[(1)]’ &= A_3 \\
[(1\ 2)]’ &= \{(1) \circ (1\ 2), (1\ 2\ 3)\circ(1\ 2), (1\ 3\ 2)\circ(1\ 2)\} \\
&= \{(1\ 2), (1\ 3), (2\ 3)\}
\end{align}
となり
\begin{align}
S_3 &= [(1)]’ \coprod [(1\ 2)]’
\end{align}
と右剰余類分解することが出来る。ここで、右剰余類分解した元を $[\cdot]’$ と表した。
(c)
(a), (b) の結果より、$A_3$ は $S_3$ における正規部分群であることが分かる。
