正規部分群の必然性

群 $G$ の任意の元 $g\in G$ を考える。また、$G$ の単位元を $e$ とする。
このとき、
$$\begin{array}{rl}A& =eH\\ B& =gH\end{array}$$
とする。
ここで、$e\circ g=g$ であるので、$g\in AB$ であるが、問題の仮定より $AB$ がまた $H$ の左剰余類となっているので
$$\begin{array}{rl}AB& =gH\end{array}$$
が成り立つ。これより
$$\begin{array}{rl}eHgH& =gH\\ HgH& =gH\end{array}$$
ここで、$H$ は部分群であるので、単位元 $e$ を含む。したがって
$$\begin{array}{rl}Hg& \subset gH\end{array}$$
が言える。
また、$g$ は群 $G$ の任意の元であったので、上記の式で $g$ をその逆元 $g^{-1}$ とした式も成り立つ。
すなわち
$$\begin{array}{rl}H{g}^{-1}& \subset g^{-1}H\\ gH& \subset Hg\end{array}$$
が成り立つ。

これより、
$$\begin{array}{rl}Hg& =gH\end{array}$$
が成り立つので、$H$ は $G$ の正規部分群であると言える。