正三角形の二面体群

二面体群 $D_6$ の元は、
$$\begin{array}{r}{D}_6=\{e,\sigma ,{\sigma }^2,\tau ,\sigma \tau ,{\sigma }^2\tau \}\end{array}$$
と表すことが出来る。ここに、$e$ は単位元、$\sigma$ は正三角形の中心に関して反時計回りに $120$ 度の回転、$\tau$ は頂点1を通る対称軸に対して裏返しを表す。

$\sigma \tau$ は、先ず変換 $\tau$ を作用させた後に $\sigma$ を作用させることを意味するものとする。

この時の積表は下のようになる。積は列成分を先に作用させ、行成分を後で作用させた表となっている。

$$\begin{array}{r}\begin{array}{|ccccccc|}\hline & e& \sigma & {\sigma }^2& \tau & \sigma \tau & {\sigma }^2\tau \\ e& e& \sigma & {\sigma }^2& \tau & \sigma \tau & {\sigma }^2\tau \\ \sigma & \sigma & {\sigma }^2& e& \sigma \tau & {\sigma }^2\tau & \tau \\ {\sigma }^2& {\sigma }^2& e& \sigma & {\sigma }^2\tau & \tau & \sigma \tau \\ \tau & \tau & \sigma \tau & {\sigma }^2\tau & e& \sigma & {\sigma }^2\\ \sigma \tau & \sigma \tau & {\sigma }^2\tau & \tau & \sigma & {\sigma }^2& e\\ {\sigma }^2\tau & {\sigma }^2\tau & \tau & \sigma \tau & {\sigma }^2& e& \sigma \\ \hline\end{array}\end{array}$$

二面体群 $D_6$ の位数は $6$ であるので、その部分群の位数は、$1,2,3,6$ である。
このうち、位数 $1$ と位数 $6$ は自明な部分群であり、各々、$\{e\},D_6$ が自明な部分群となる。
自明でない部分群は位数が $2,3$ であり、それらの部分群を探す。

先ず、位数が $2$ の部分群を求める。

$\tau \in D_6$ は ${\tau }^2=e$ である。
しかし、それ以外の($e$ を除いて) $g\in D_6$ は $g^2=e$ とならないので、$\{e,g\}$ は部分群とならない。

実際に、
$$\begin{array}{r}\begin{array}{ccccccc}g& e& \sigma & {\sigma }^2& \tau & \sigma \tau & {\sigma }^2\tau \\ g^2& e& {\sigma }^2& \sigma & e& {\sigma }^2& \sigma \end{array}\end{array}$$
となる。

従って、位数 2 の部分群は $\{e,\tau \}$ のみである。

次に、位数が $3$ の部分群を探す。

$\sigma ,{\sigma }^2$ は、各々、${\sigma }^3=e,({\sigma }^2{)}^3=e$ となる。
一方で、他の($e$ を除いた) $g\in D_6$ については、$g^3=e$ を満たさない。

実際に
$$\begin{array}{r}\begin{array}{ccccccc}g& e& \sigma & {\sigma }^2& \tau & \sigma \tau & {\sigma }^2\tau \\ g^3& e& e& e& \tau & \tau & \tau \end{array}\end{array}$$
となる。

従って、$\{e,\sigma ,{\sigma }^2\}$ のみが位数 3 の部分群である。

まとめると、二面体群 $D_6$ の部分群は $\{e\},\{e,\tau \},\{e,\sigma ,{\sigma }^2\},D_6$ の4つである。