ラグランジュの定理の応用

先ず (b) から示す。
$H,K$ は $G$ の部分群であるので、両方ともに単位元 $e$ を含む。
従って、$e\in (H\cap K)$ が言える。
また、任意の $H\cap K$ の元 $x\in (H\cap K)$ に対して、$x\in H,x\in K$ より、$x^{-1}\in K,x^{-1}\in K$ が言えるので、$x^{-1}\in (H\cap K)$ が示される。
最後に、任意の $H\cap K$ の元 $x_1,x_2\in (H\cap K)$ に対して $x_1,x_2\in H,x_1,x_2\in K$ より、$x_1\circ x_2\in H,x_1\circ x_2\in K$ が言えるので、$x_1\circ x_2\in (H\cap K)$ が示される。
従って、$H\cap K$ は $G$ の部分群となる。

次に (a) を示す。
$H$ と $K$ の直積 $H\times K$ から $HK$ への写像 $f:H\times K\to HK$ を、$h\in H,k\in K$ とするとき
$$\begin{array}{rl}f:& (h,k)\mapsto h\circ k\end{array}$$
と定義する。
このとき、写像 $f$ は明らかに全射である。

従って、$HK$ の任意の元 $y\in HK$ に対して、$y=h_0\circ k_0$ となる $h_0\in H,k_0\in K$ を取ることが出来て
$$\begin{array}{rl}\{(h,k)\in H\times K|h\circ k=y\}& =\{(h_0\circ x,x^{-1}\circ k_0)|x\in H\cap K\}\end{array}$$
が次のようにして言える。
左辺の集合を $L$ とし、右辺の集合を $R$ を表すことにする。
先ず、$L\supset R$ は $h_0\circ x\in H,x^{-1}\circ k_0\in K$ より自明である。
(ここで、(b) の主張より $x^{-1}\in (H\cap K)$ となることを使った。）

また、任意の $(h,k)\in L$ に対して、$x=e$ とした $(h_0,k_0)\in R$ より、$L\subset R$ が言える。

これより、$L=R$ が言えるので、その位数は互いに等しいことが分かる。

また、$|R|=|H\cap K|$ であることに注意すれば、
$$\begin{array}{rl}|H||K|& =|H\times K|\\ & =|R|\times |HK|\\ & =|H\cap K||HK|\end{array}$$
が導かれ、題意が示される。

最後に、$|H|$ と $|K|$ が互いに素であるならば、先に示した式より、$|H\cap K|=1$ または $|HK|=1$ となる。
$|H\cap K|=1$ であれば、$H\cap K=\{e\}$ であり、
$|HK|=1$ であれば、$HK=\{e\}$ であるので、$H=K=\{e\}$ となり、やはり、$H\cap K=\{e\}$ が言える。

あるいは、$H\cap K$ は $H$ の部分群でもあり、$K$ の部分群でもあることから、ラグランジュの定理より、$|H\cap K|$ は $|H|$ の約数であり、かつ $|K|$ の約数でもあることが分かる。
$|H|$ と $|K|$ は互いに素であるとすると、$|H\cap K|=1$ となり、$H\cap K=\{e\}$ が言える。

従って、題意が示された。