加法定理と線形補間

まず、
$$\begin{array}{r}\frac{1–\cos x}{2}={\sin }^2\frac{x}{2}\end{array}$$
に注意すれば、第１式は
$$\begin{array}{r}\cos nx–\cos (n+1)x=2\sin (n+\frac{1}{2})x\sin \frac{x}{2}\end{array}$$
を示せば良いことが分かる。
そこで、左辺を計算すると
$$\begin{array}{r}\cos nx–\cos nx\cos x+\sin nx\sin x\end{array}$$
となる。一方で右辺は
$$\begin{array}{r}2(\sin nx\cos \frac{x}{2}+\cos nx\sin \frac{x}{2})\sin \frac{x}{2}=\sin nx\sin x+\cos nx(1–\cos nx)\end{array}$$
となり、左辺と等しいことが分かり、第１式が示された。

第２式に関しても同様の注意から
$$\begin{array}{r}1–\cos (n+1)x=2{\sin }^2\frac{n+1}{2}x\end{array}$$
を示せば良いが、これは明らかに成り立つ。

以上より題意が示された。