解析

2階線形微分方程式

次の微分方程式を解きなさい。
\[
\frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d} x^2} + 4 y = \sin 2x
\]

まず、
\[
\frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d} x^2} + 4 y = 0
\]
の2つの独立な解が
\[\begin{align}
f(x) &= \cos 2x \\
g(x) &= \sin 2x
\end{align}\]
であることに注意して、定数変化法を用いて、与えられた微分方程式の解を求める。すなわち
\[
y = u(x) f(x) + v(x) g(x)
\]
として、\(u(x), v(x)\)を求める。\(y\)を一回微分して
\[
y’ = u'(x) f(x) + u(x) f'(x) + v'(x) g(x) + v(x) g'(x)
\]
が得られるが、ここで付加的な条件として
\[
u'(x) f(x) + v'(x) g(x) = 0
\]
を課すことにする。(\(u(x), v(x)\)の2階微分が出てこないようにするため。)この時、\(y\)の2階微分は
\[
y” = u'(x) f'(x) + u(x) f”(x) + v'(x) g'(x) + v(x) g”(x)
\]
となり、これを解くべき微分方程式に代入すると
\[
u'(x) f'(x) + u(x) f”(x) + v'(x) g'(x) + v(x) g”(x) + 4 (u(x) f(x) + v(x) g(x)) = \sin 2x \\
u'(x) f'(x) + v'(x) g'(x) = \sin 2 x
\]
が得られる。
この式と、先に課した付加的条件
\[
u'(x) f(x) + v'(x) g(x) = 0
\]
を連立させることによって
\[\begin{align}
u'(x) &= – \frac{g(x) \sin 2x}{W(x)} \\
v'(x) &= \frac{f(x) \sin 2x}{W(x)}
\end{align}\]
が得られる。ここに、\(W(x)\)はWronskianと呼ばれ
\[
W(x) =
\begin{array}{|cc|}
f(x) & g(x) \\
f'(x) & g'(x) \\
\end{array}
\]
で定義される。今、\(W(x)\)は
\[
W(x) = \cos 2 x \cdot 2 \cdot \cos 2x + 2 \sin 2x \cos 2x = 2
\]
である。この時、\(u(x), v(x)\)は解析的に求めることが出来て
\[\begin{align}
u(x) &= – \frac{1}{2} \int \sin^2 2 x {\rm d}x \\
&= – \frac{1}{4} \int (1 – \cos 4 x) {\rm d} x \\
&= – \frac{1}{4} x + \frac{1}{16} \sin 2x + C_1
\end{align}\]

\[\begin{align}
v(x) &= \frac{1}{2} \int \sin 2x \cos 2x {\rm d} x \\
&= \frac{1}{4} \int \sin 4x {\rm d} x \\
&= – \frac{1}{16} \cos 4x + C_2
\end{align}\]
となる。ここに\(C_1, C_2\)は積分定数である。

したがって、求める微分方程式の解は
\[\begin{align}
y &=
\left(- \frac{1}{4} x + \frac{1}{16} \sin 4x + C_1 \right) \cos 2x + \left(- \frac{1}{16} \cos 4x + C_2\right) \sin 2x \\
&=\left( – \frac{1}{4} x + C_1 \right) \cos 2x + \left(\frac{1}{16} + C_2 \right) \sin 2x
\end{align}\]
と求まる。ここに\(C_1, C_2\)は任意の定数である。