2階線形微分方程式

まず、
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+4y=0$$
の2つの独立な解が
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\cos 2x\\ g(x)& =\sin 2x\end{array}$$
であることに注意して、定数変化法を用いて、与えられた微分方程式の解を求める。すなわち
$$y=u(x)f(x)+v(x)g(x)$$
として、$u(x),v(x)$を求める。$y$を一回微分して
$$y^{\prime }=u^{\prime }(x)f(x)+u(x)f^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)g(x)+v(x)g^{\prime }(x)$$
が得られるが、ここで付加的な条件として
$$u^{\prime }(x)f(x)+v^{\prime }(x)g(x)=0$$
を課すことにする。($u(x),v(x)$の2階微分が出てこないようにするため。）この時、$y$の2階微分は
$$y”=u^{\prime }(x)f^{\prime }(x)+u(x)f”(x)+v^{\prime }(x)g^{\prime }(x)+v(x)g”(x)$$
となり、これを解くべき微分方程式に代入すると
$$\begin{gathered} u^{\prime }(x)f^{\prime }(x)+u(x)f”(x)+v^{\prime }(x)g^{\prime }(x)+v(x)g”(x)+4(u(x)f(x)+v(x)g(x))=\sin 2x \\ {u}^{\prime }(x)f^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)g^{\prime }(x)=\sin 2x \end{gathered}$$
が得られる。
この式と、先に課した付加的条件
$$u^{\prime }(x)f(x)+v^{\prime }(x)g(x)=0$$
を連立させることによって
$$\begin{array}{rl}{u}^{\prime }(x)& =–\frac{g(x)\sin 2x}{W(x)}\\ v^{\prime }(x)& =\frac{f(x)\sin 2x}{W(x)}\end{array}$$
が得られる。ここに、$W(x)$はWronskianと呼ばれ
$$W(x)=\overline{)\begin{array}{cc}f(x)& g(x)\\ f^{\prime }(x)& g^{\prime }(x)\end{array}}$$
で定義される。今、$W(x)$は
$$W(x)=\cos 2x\cdot 2\cdot \cos 2x+2\sin 2x\cos 2x=2$$
である。この時、$u(x),v(x)$は解析的に求めることが出来て
$$\begin{array}{rl}u(x)& =–\frac{1}{2}\int {\sin }^{2}2x\mathrm{d}x\\ & =–\frac{1}{4}\int (1–\cos 4x)\mathrm{d}x\\ & =–\frac{1}{4}x+\frac{1}{16}\sin 2x+C_1\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}v(x)& =\frac{1}{2}\int \sin 2x\cos 2x\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{4}\int \sin 4x\mathrm{d}x\\ & =–\frac{1}{16}\cos 4x+C_2\end{array}$$
となる。ここに$C_1,C_2$は積分定数である。

したがって、求める微分方程式の解は
$$\begin{array}{rl}y& =(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{16}\sin 4x+C_1)\cos 2x+(-\frac{1}{16}\cos 4x+C_2)\sin 2x\\ & =(–\frac{1}{4}x+C_1)\cos 2x+(\frac{1}{16}+C_2)\sin 2x\end{array}$$
と求まる。ここに$C_1,C_2$は任意の定数である。