解析

2重積分の計算

\[
D = \left\{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0 \right\}
\]
とおくとき、次の二重積分の値を求めなさい。
\[
\int \int_{D} x y\ {\rm d}x {\rm d}y
\]

領域\(D\)は極座標表示すると簡単に表すことが出来る。
\[\begin{align}
x &= r \cos\theta \\
y &= r \sin\theta
\end{align}\]
とすると、
\[\begin{align}
1 \le &r \le 2 \\
0 \le &\theta \le \frac{\pi}{2}
\end{align}\]
なる領域が\(D\)となる。

従って、求めるべき二重積分は
\[\begin{align}
\int \int_{D} x y\ {\rm d} x {\rm d} y
&= \int_1^{2} r {\rm d} r \int_0^{\frac{\pi}{2}} {\rm d} \theta \ r^2 \cos\theta \sin\theta \\
&= \int_1^2 r^3 {\rm d} r \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2\theta {\rm d} \theta \\
&= \left[\frac{r^4}{4}\right]_1^2 \cdot \left[- \frac{1}{4} \cos 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{4} \\
&= \frac{15}{8}
\end{align}\]