解析

高次微分係数

関数
\[
f(x) = {\rm e}^{3 x} \sin 2x
\]
について、次の問いに答えなさい。ただし、\(f^{(n)}\)は\(f(x)\)の第\(n\)次導関数を表す。

(1) \(f^{(4)}(0)\)の値を求めなさい。

(2) \(f^{(5)}(0)\)の値を求めなさい。

\[\begin{align}
f(x) &= {\rm e}^{3 x} \sin 2x \\
&= \frac{1}{2 i} {\rm e}^{3 x} \left({\rm e}^{2 x i} – {\rm e}^{- 2 x i}\right)\\
&= \frac{1}{2 i} \left({\rm e}^{(3 + 2 i) x} – {\rm e}^{(3 – 2 i) x} \right)
\end{align}\]
に注意すると、高次微分が簡単になる。

(1)
\[\begin{align}
f^{(4)}(x) &= \frac{1}{2 i} \left\{ (3 + 2 i)^4 {\rm e}^{(3 + 2 i) x} – (3 – 2 i)^4 {\rm e}^{(3 – 2 i) x} \right\} \\
f^{(4)}(0) &= \frac{1}{2 i} \left\{ (3 + 2 i)^4 – (3 – 2 i)^4 \right\} \\
&= \frac{1}{2 i} \left\{ \left(3^4 + {}_4 C_3 3^3 (2 i)^1 + {}_4 C_2 3^2 (2 i)^2 + {}_4 C_1 3^1 (2 i)^3 + (2 i)^4 \right) \right.\\
&\ \ \ \left.- \left(3^4 + {}_4 C_3 3^3 (-2 i)^1 + {}_4 C_2 3^2 (-2 i)^2 + {}_4 C_1 3^1 (-2 i)^3 + (-2 i)^4 \right) \right\} \\
&= \frac{2}{2 i} (4 \cdot 27 \cdot 2 i – 4 \cdot 3 \cdot 8 i) \\
&= 120
\end{align}\]

(2)
\[\begin{align}
f^{(5)}(0) &= \frac{1}{2 i} \left\{ (3 + 2 i)^5 – (3 – 2 i)^5 \right \} \\
&= \frac{1}{2 i} \left\{ (3^5 + {}_5 C_4 3^4 (2 i)^1 + {}_5 C_3 3^3 (2 i)^2 + {}_5 C_2 3^2 (2 i)^3 + {}_5 C_1 5^1 (2 i)^4 + (2 i)^5 )\right. \\
&\ \ \ \left. – (3^5 + {}_5 C_4 3^4 (-2 i)^1 + {}_5 C_3 3^3 (-2 i)^2 + {}_5 C_2 3^2 (-2 i)^3 + {}_5 C_1 5^1 (-2 i)^4 + (-2 i)^5 ) \right\} \\
&= \frac{2}{2 i} ( 5 \cdot 81 \cdot 2 i – 10 \cdot 9 i \cdot 8 + 32 i) \\
&= 122
\end{align}\]