高次微分係数｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

関数
$f (x) = e^{3 x} \sin 2 x$
について、次の問いに答えなさい。ただし、 $f^{(n)}$ は $f (x)$ の第 $n$ 次導関数を表す。

(1) $f^{(4)} (0)$ の値を求めなさい。

(2) $f^{(5)} (0)$ の値を求めなさい。

\begin{aligned} f (x) & = e^{3 x} \sin 2 x \\ = \frac{1}{2 i} e^{3 x} (e^{2 x i} - e^{- 2 x i}) \\ = \frac{1}{2 i} (e^{(3 + 2 i) x} - e^{(3 - 2 i) x}) \end{aligned}

に注意すると、高次微分が簡単になる。

(1)
$\begin{aligned} f^{(4)} (x) & = \frac{1}{2 i} {(3 + 2 i)^{4} e^{(3 + 2 i) x} - (3 - 2 i)^{4} e^{(3 - 2 i) x}} \\ f^{(4)} (0) & = \frac{1}{2 i} {(3 + 2 i)^{4} - (3 - 2 i)^{4}} \\ = \frac{1}{2 i} {(3^{4} +_{4} C_{3} 3^{3} (2 i)^{1} +_{4} C_{2} 3^{2} (2 i)^{2} +_{4} C_{1} 3^{1} (2 i)^{3} + (2 i)^{4}) \\ - (3^{4} +_{4} C_{3} 3^{3} (- 2 i)^{1} +_{4} C_{2} 3^{2} (- 2 i)^{2} +_{4} C_{1} 3^{1} (- 2 i)^{3} + (- 2 i)^{4})} \\ = \frac{2}{2 i} (4 \cdot 27 \cdot 2 i - 4 \cdot 3 \cdot 8 i) \\ = 120 \end{aligned}$

(2)
$\begin{aligned} f^{(5)} (0) & = \frac{1}{2 i} {(3 + 2 i)^{5} - (3 - 2 i)^{5}} \\ = \frac{1}{2 i} {(3^{5} +_{5} C_{4} 3^{4} (2 i)^{1} +_{5} C_{3} 3^{3} (2 i)^{2} +_{5} C_{2} 3^{2} (2 i)^{3} +_{5} C_{1} 5^{1} (2 i)^{4} + (2 i)^{5}) \\ - (3^{5} +_{5} C_{4} 3^{4} (- 2 i)^{1} +_{5} C_{3} 3^{3} (- 2 i)^{2} +_{5} C_{2} 3^{2} (- 2 i)^{3} +_{5} C_{1} 5^{1} (- 2 i)^{4} + (- 2 i)^{5})} \\ = \frac{2}{2 i} (5 \cdot 81 \cdot 2 i - 10 \cdot 9 i \cdot 8 + 32 i) \\ = 122 \end{aligned}$