2重積分の計算｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$D = {(x, y) | 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}$
とおくとき、次の二重積分の値を求めなさい。
$\int \int_{D} x y d x d y$

領域

D

は極座標表示すると簡単に表すことが出来る。

\begin{aligned} x & = r \cos θ \\ y & = r \sin θ \end{aligned}

とすると、

\begin{aligned} 1 \leq & r \leq 2 \\ 0 \leq & θ \leq \frac{π}{2} \end{aligned}

なる領域が

D

となる。

従って、求めるべき二重積分は
$\begin{aligned} \int \int_{D} x y d x d y & = \int_{1}^{2} r d r \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ r^{2} \cos θ \sin θ \\ = \int_{1}^{2} r^{3} d r \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin 2 θ d θ \\ = {[\frac{r^{4}}{4}]}_{1}^{2} \cdot {[- \frac{1}{4} \cos 2 θ]}_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{4} \\ = \frac{15}{8} \end{aligned}$