マクローリン展開｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

関数 $\frac{1}{(1 - x)^{3}}$ の $| x | < 1$ におけるマクローリン展開
$\frac{1}{(1 - x)^{3}} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$
について、 $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

| x | < 1

において収束する初項

1

公比

x

の無限等比級数の和を考えると

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \dots

が成立する。両辺を

x

で微分すると

\frac{1}{(1 - x)^{2}} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + \dots + n x^{n - 1} + \dots

となる。もう一度、両辺を

x

で微分すると

\frac{2}{(1 - x)^{3}} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 x + \dots + n \cdot (n - 1) x^{n - 2} + \dots

が成立する。従って、両辺を

2

で割ることにより

\frac{1}{(1 - x)^{3}} = \frac{1}{2} (2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 x + \dots + (n + 2) (n + 1) x^{n} + \dots)

が得られる。従って

a_{n} = \frac{(n + 2) (n + 1)}{2}

となる。

$f (x) = \frac{1}{(1 - x)^{3}}$
として、
$a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}$
を計算しても、もちろん同じ答えが導かれるが、無限等比級数の和に着目すると、より簡単に答えに辿り着く。

マクローリン展開