線形写像と表現行列｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$V$ を3次以下の実係数1変数多項式からなる実線形空間、 $W$ を2次以下の実係数1変数多項式からなる実線形空間とする。
$V$ から $W$ への写像 $F$ を
$F (f (x)) = 2 x f^{''} (x) - f^{'} (x + 1) + x^{2} f (1)$
によって定める。この時、次の問いに答えよ。

(1) $F$ は線形写像であることを示せ。

(2) $V$ の基底を $⟨ 1, 3 x - 5, 2 x^{2} - 3 x, x^{3} - 2 x^{2} + 4 ⟩$ 、
$W$ の基底を $⟨ 1, x - 1, (x - 1)^{2} ⟩$ とするとき、これら2つの基底に関する線形写像 $F$ の表現行列を求めよ。

(1)

V

の任意の2つの元を

f (x), g (x)

とし、

α, β

を任意の実数とする。この時、

\begin{aligned} F (α f (x) + β g (x)) & = 2 x \frac{d^{2}}{d x^{2}} (α f (x) + β g (x)) - \frac{d}{d x} (α f (x) + β g (x)) + x^{2} (α f (1) + β g (1)) \\ = α (2 x f^{''} (x) - f^{'} (x) + x^{2} f (1)) + β (2 x g^{''} (x) - g^{'} (x) + x^{2} g (1)) \\ = α F (f (x)) + β F (g (x)) \end{aligned}

従って、写像

F

は線形写像である。

(2)
$V$ の基底を
$\begin{aligned} e_{V}^{1} & = 1 \\ e_{V}^{2} & = 3 x - 5 \\ e_{V}^{3} & = 2 x^{2} - 3 x \\ e_{V}^{4} & = x^{3} - 2 x^{2} + 4 \end{aligned}$
と書き、 $W$ の基底を
$\begin{aligned} e_{W}^{1} & = 1 \\ e_{W}^{2} & = x - 1 \\ e_{W}^{3} & = (x - 1)^{2} \end{aligned}$
と書く事にする。
$V$ の各基底が線形写像 $F$ によってどのように写るかを調べる。
$\begin{aligned} F (e_{V}^{1}) & x^{2} = (x - 1)^{2} + 2 (x - 1) + 1 = e_{W}^{1} + 2 e_{W}^{2} + e_{W}^{3} \\ F (e_{V}^{2}) & = - 2 x^{2} - 3 = - 2 (x - 1)^{2} - 4 (x - 1) - 5 = - 5 e_{W}^{1} - 4 e_{W}^{2} - 2 e_{W}^{3} \\ F (e_{V}^{3}) & = - x^{2} + 4 x - 1 = - (x - 1)^{2} + 2 (x - 1) + 2 = 2 e_{W}^{1} + 2 e_{W}^{2} - e_{W}^{3} \\ F (e_{V}^{4}) & = 12 x^{2} - 10 x + 1 = 12 (x - 1)^{2} + 14 (x - 1) + 3 = 3 e_{W}^{1} + 14 e_{W}^{2} + 12 e_{W}^{3} \end{aligned}$