2つの直交座標系\(S, S’\)があり、\(S’\)が\(S\)に対して\(x\)方向に速さ\(V\)で動いているとするとき、特殊相対性理論では、以下の変換が成立する。これをローレンツ(Lorentz)変換という。
\[\begin{align}
c t’ &= \gamma (c t – \beta x) \\
x’ &= \gamma (-\beta (ct) + x) \\
y’ &= y \\
z’ &= z
\end{align}\]
ここに、\(c\)は光速であり、
\[\begin{align}
\gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{V^2}{c^2}}} \\
\beta &= \frac{V}{c}
\end{align}\]
である。
このとき、ダランベルシアン
\[
\Box = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}
\]
が不変であることを示せ。
\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial t’}{\partial t} \frac{\partial}{\partial t’} + \frac{\partial x’}{\partial t} \frac{\partial}{\partial x’} \\
&= \gamma \frac{\partial}{\partial t’} – \gamma \beta c \frac{\partial}{\partial x’} \\
\frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial t’}{\partial x} \frac{\partial}{\partial t’} + \frac{\partial x’}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x’} \\
&= – \frac{\gamma \beta}{c} \frac{\partial}{\partial t’} + \gamma \frac{\partial}{\partial x’} \\
\frac{\partial}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y’} \\
\frac{\partial}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial z’}
\end{align}\]
が成り立つことに注意すると、\(S\)系におけるダランベルシアンは
\[\begin{align}
\Box &= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \\
&= \left(- \frac{\gamma \beta}{c} \frac{\partial}{\partial t’} + \gamma \frac{\partial}{\partial x’} \right)^2 – \frac{1}{c^2}\left(\gamma \frac{\partial}{\partial t’} – \gamma \beta c \frac{\partial}{\partial x’}\right)^2 + \frac{\partial^2}{\partial y’^2} + \frac{\partial^2}{\partial z’^2} \\
&= \left(\left(\frac{\gamma \beta}{c}\right)^2 – \frac{\gamma^2}{c^2}\right) \frac{\partial^2}{\partial t’^2} + \left(\gamma^2 – \frac{\gamma^2 \beta^2 c^2}{c^2}\right) \frac{\partial^2}{\partial x’^2} \\
&\ \ \ \ \ – 2 \frac{\gamma^2 \beta}{c} \frac{\partial^2}{\partial t’ \partial x’} + \frac{2}{c^2} \gamma^2 \beta c \frac{\partial^2}{\partial t’ \partial x’} \\
&\ \ \ \ \ + \frac{\partial^2}{\partial y’^2} + \frac{\partial^2}{\partial z’^2} \\
&= \frac{\gamma^2}{c^2}(\beta^2 – 1) \frac{\partial^2}{\partial t’^2} + \gamma^2 (1 – \beta^2) \frac{\partial^2}{\partial x’^2} + \frac{\partial^2}{\partial y’^2} + \frac{\partial^2}{\partial z’^2} \\
&= – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t’^2} + \frac{\partial^2}{\partial x’^2} + \frac{\partial^2}{\partial y’^2} + \frac{\partial^2}{\partial z’^2} \\
&= \Box’
\end{align}\]
となり、\(S’\)系でのダランベルシアンと等しくなる。
ここで
\[
\gamma^2(1 – \beta^2) = \frac{1}{1 – \frac{V^2}{c^2}} \left(1 – \frac{V^2}{c^2} \right) = 1
\]
を用いた。
