ラグランジュの定理の応用

先ず (b) から示す。
$H, K$ は $G$ の部分群であるので、両方ともに単位元 $e$ を含む。
従って、$e \in (H \cap K)$ が言える。
また、任意の $H \cap K$ の元 $x \in (H \cap K)$ に対して、$x \in H, x \in K$ より、$x^{-1} \in K, x^{-1} \in K$ が言えるので、$x^{-1} \in (H \cap K)$ が示される。
最後に、任意の $H \cap K$ の元 $x_1, x_2 \in (H \cap K)$ に対して $x_1, x_2 \in H, x_1, x_2 \in K$ より、$x_1 \circ x_2 \in H, x_1 \circ x_2 \in K$ が言えるので、$x_1 \circ x_2 \in (H \cap K)$ が示される。
従って、$H \cap K$ は $G$ の部分群となる。

次に (a) を示す。
$H$ と $K$ の直積 $H \times K$ から $H K$ への写像 $f: H \times K \rightarrow H K$ を、$h \in H, k \in K$ とするとき
\begin{align}
f:& (h, k) \mapsto h \circ k
\end{align}
と定義する。
このとき、写像 $f$ は明らかに全射である。

従って、$H K$ の任意の元 $y \in H K$ に対して、$y = h_0 \circ k_0$ となる $h_0 \in H, k_0 \in K$ を取ることが出来て
\begin{align}
\{(h, k) \in H \times K| h \circ k = y\} &= \{(h_0 \circ x, x^{-1} \circ k_0)| x \in H \cap K\}
\end{align}
が次のようにして言える。
左辺の集合を $L$ とし、右辺の集合を $R$ を表すことにする。
先ず、$L \supset R$ は $h_0 \circ x \in H, x^{-1} \circ k_0 \in K$ より自明である。
(ここで、(b) の主張より $x^{-1} \in (H \cap K)$ となることを使った。）

また、任意の $(h, k) \in L$ に対して、$x = e$ とした $(h_0, k_0) \in R$ より、$L \subset R$ が言える。

これより、$L = R$ が言えるので、その位数は互いに等しいことが分かる。

また、$|R| = |H \cap K|$ であることに注意すれば、
\begin{align}
|H| |K| &= |H \times K| \\
&= |R| \times |H K| \\
&= |H \cap K| |H K|
\end{align}
が導かれ、題意が示される。

最後に、$|H|$ と $|K|$ が互いに素であるならば、先に示した式より、$|H \cap K| = 1$ または $|H K| = 1$ となる。
$|H \cap K| = 1$ であれば、$H \cap K = \{ e\}$ であり、
$|H K| = 1$ であれば、$H K = \{e \}$ であるので、$H = K = \{e\}$ となり、やはり、$H \cap K = \{e\}$ が言える。

あるいは、$H \cap K$ は $H$ の部分群でもあり、$K$ の部分群でもあることから、ラグランジュの定理より、$|H \cap K|$ は $|H|$ の約数であり、かつ $|K|$ の約数でもあることが分かる。
$|H|$ と $|K|$ は互いに素であるとすると、$|H \cap K| = 1$ となり、$H \cap K = \{e\}$ が言える。

従って、題意が示された。