連結部分集合の閉包

背理法により示す。

$B$ が連結でないとする。
このとき、定値写像でない連続写像 $f:B\to \{p,q\}$ が存在する。
$f$ は連続であり、$A$ は $B$ の部分空間であるので、$f$ の $A$ への制限 $f{|}_A:A\to \{p,q\}$ は連続である。
さらに、$A$ は連結であるので、$f{|}_A$ は定値写像である。
従って、$f{|}_A$ は $p$ に値を取ると仮定して一般性は失わない。
すなわち $A\subset f^{-1}(p)$ としても良い。
さらに $f$ は定値写像でないので、$\mathrm{\exists }x\in B,f(x)=q$ となる。
このとき、$A\cap f^{-1}(q)=\mathrm{\varnothing }$ である。

ここで、$\{q\}$ は $\{p,q\}$ の開集合であるので、$f^{-1}(q)$ は $B$ の開集合となる。
すなわち $X$ のある開集合 $O$ が存在して、$f^{-1}(q)=O\cap B$ となる。

従って、$x\in O,A\cap O=\mathrm{\varnothing }$ となるので、$x$ は $A$ の外点である。

一方で、$x\in B,B\subset \bar{A}$ より、$x\in \bar{A}$ であるので、$x$ は $A$ の外点ではない。

これは矛盾である。

従って、$B$ は連結であることが示された。