開集合と閉集合

$I=(a,b]$ とおく。
$b\in I$ について、どんな $ϵ>0$ を考えても
$$\begin{array}{r}B(b,ϵ)\not\subset I\end{array}$$
となる。なぜなら、$b+ϵ/2\notin I,b+ϵ/2\in B(b,ϵ)$ であるからである。
よって、$(a,b]$ は開集合ではない。

次に、$I$ の $\mathbb{R}$ における補集合を考えると $I^{\mathrm{c}}=(-\mathrm{\infty },a]\cup (b,+\mathrm{\infty })$ となる。
ここで、$I^{\mathrm{c}}$ は開集合ではない。なぜなら、$a\in I^{\mathrm{c}}$ であるが、任意の $ϵ>0$ について、${ϵ}^{\prime }=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ϵ,b–a\}$ とすると
$$\begin{array}{r}B(a,{ϵ}^{\prime })\not\subset I^{\mathrm{c}}\end{array}$$
となるからである。
なぜなら、$a+{ϵ}^{\prime }/2\notin I^{\mathrm{c}},a+{ϵ}^{\prime }/2\in B(a,{ϵ}^{\prime })$ となるからである。
よって、$I^{\mathrm{c}}$ は開集合ではない。すなわち $I$ は閉集合ではない。

以上の議論より、$I$ は閉集合でも開集合でもないことが分かる。