実数全体の集合 $\mathbb{R}$ について
\begin{align}
\mathbb{R} \times \mathbb{R} \sim \mathbb{R}
\end{align}
を示せ。
先ず
\begin{align}
(0, 1] \times (0, 1] \sim (0, 1]
\end{align}
を示す。
$x, y \in (0, 1]$ を１０進法を用いて無限小数に展開し
\begin{align}
x &= 0.x_1 x_2 x_3 \cdots \\
y &= 0.y_1 y_2 y_3 \cdots
\end{align}
と表す。このとき
\begin{align}
z &= 0.x_1 y_1 x_2 y_2 x_3 y_3 \cdots
\end{align}
を考えると、$z \in (0, 1]$ であり、$(x, y)$ から $z$ を対応させる写像 $(x, y) \mapsto z$ は単射である。
さらに、$x \in (0, 1]$ に対して、$(x, x) \in (0, 1] \times (0, 1]$ を対応させると、この写像は単射となる。
従って、ベルンシュタインの定理より
\begin{align}
(0, 1] \times (0, 1] \sim (0, 1]
\end{align}
が言える。
さらに、先の問題により
\begin{align}
(0, 1] \sim \mathbb{R}
\end{align}
が示されているので
\begin{align}
\mathbb{R} \times \mathbb{R} \sim \mathbb{R}
\end{align}
が言える。
