極限集合｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

${A_{n}}_{n \in N}$ を自然数 $N$ によって添字付けられた集合族とする。
このとき、以下を示せ。

(1) $\forall n \in N$ に対して $A_{n} \supset A_{n + 1}$ ならば
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} A_{n} & = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \end{aligned}$
が成り立つ。

(2) $\forall n \in N$ に対して $A_{n} \supset A_{n + 1}$ ならば
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} & = ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} \end{aligned}$
が成り立つ。

(1)
先ず、極限集合の定義により
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} s u p A_{n} & = ⋂_{k = 1}^{\infty} ⋃_{n = k}^{\infty} A_{n} \subset ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \end{aligned}$
が成り立つ。これは $k = 1$ の場合を考えてみれば導かれる。

さらに $\forall n \in N$ に対して $A_{n} \subset A_{n + 1}$ であるので
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} i n f A_{n} & = ⋃_{k = 1}^{\infty} ⋂_{n = k}^{\infty} A_{n} \\ = ⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k} \end{aligned}$
が成り立つ。

従って
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} s u p A_{n} \subset lim_{n \to \infty} i n f A_{n} \end{array}$
が成り立つ。

一方で、一般的に
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} i n f A_{n} \subset lim_{n \to \infty} s u p A_{n} \end{array}$
が成り立つので、結局
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} i n f A_{n} = lim_{n \to \infty} s u p A_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \end{array}$
となり、 ${A_{n}}_{n \in N}$ は $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ に収束することが分かる。

(2)
(1) と同様に、 $\forall n \in N$ に対して $A_{n} \supset A_{n + 1}$ であるので
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} s u p A_{n} & = ⋂_{k = 1}^{\infty} ⋃_{n = k}^{\infty} A_{n} \\ = ⋂_{k = 1}^{\infty} A_{k} \end{aligned}$
が成り立つ。

また
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} i n f A_{n} & = ⋃_{k = 1}^{\infty} ⋂_{n = k}^{\infty} A_{n} \supset ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} \end{aligned}$
が成り立つ。

従って
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} s u p A_{n} \subset lim_{n \to \infty} i n f A_{n} \end{array}$
が成り立つ。

一方で一般的に
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} i n f A_{n} \subset lim_{n \to \infty} s u p A_{n} \end{array}$
が成り立つので
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} s u p A_{n} & = lim_{n \to \infty} i n f A_{n} = ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} \end{aligned}$
となり、題意が示された。