集合の対称差｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$A, B$ を集合 $X$ の部分集合とするとき $A, B$ の集合差 $A ⊖ B$ を以下で定義する。
$\begin{aligned} A ⊖ B & = (A ∖ B) \cup (B ∖ A) \end{aligned}$
このとき
(1) $A ⊖ X = A^{c}$
(2) $A ⊖ A^{c} = X$
(3) $A ⊖ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$
が成り立つことを示せ。

(1)
$\begin{aligned} A ⊖ X & = (A ∖ X) \cup (X ∖ A) \\ = \emptyset \cup A^{c} \\ = A^{c} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} A ⊖ A^{c} & = (A ∖ A^{c}) \cup (A^{c} ∖ A) \\ = A \cup A^{c} \\ = X \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} (A \cup B) ∖ (A \cap B) & = (A \cup B) \cap (A \cap B)^{c} \\ = (A \cup B) \cap (A^{c} \cup B^{c}) \\ = ((A \cup B) \cap A^{c}) \cup ((A \cup B) \cap B^{c}) \\ = ((A \cap A^{c}) \cup (B \cap A^{c})) \cup ((A \cap B^{c}) \cup (B \cap B^{c})) \\ = (\emptyset \cup (B \cap A^{c})) \cup ((A \cap B^{c}) \cup \emptyset) \\ = (B \cap A^{c}) \cup (A \cap B^{c}) \\ = (B ∖ A) \cup (A ∖ B) \\ = A ⊖ B \end{aligned}$