実直線束

$S^1=\{(\cos \theta ,\sin \theta )|0\le \theta 2\pi \}$ の開被覆として
$$\begin{array}{rl}{U}_1& =\{(\cos \theta ,\sin \theta )|0<\theta <3\pi /2\}\\ U_2& =\{(\cos \theta ,\sin \theta )|\pi <\theta <5\pi /2\}\end{array}$$
を考える。実際に、$S^1=U_1\cup U_2$ となり、$U_1,U_2$ は $S^1$ の開被覆である。

$U_i$ の座標を ${\theta }_i$ と書くことにすると、$U_1\cap U_2$ の領域での座標変換は ${\theta }_1={\theta }_2$ または ${\theta }_1={\theta }_2–2\pi$ となる。

いずれの場合にも、
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial {\theta }_1}& =\frac{\partial }{\partial {\theta }_2}\end{array}$$
であるので、変換関数は 1 であり、自明であることが分かる。

すなわち
$$\begin{array}{rl}T{S}^1& =S^1\times \mathbb{R}\end{array}$$
が言える。