微分幾何

ベクトル束の接続

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ベクトル束の接続に関して、ライプニッツ則が成り立つこと、すなわち
$\begin{aligned} \nabla_{X} (f ξ) & = (X f) \cdot ξ + f \cdot \nabla_{X} ξ \end{aligned}$
を示せ。

$\begin{aligned} \nabla (f ξ) & = (d f) ξ + f \nabla ξ \end{aligned}$
より
$\begin{aligned} \nabla_{X} (f ξ) & = ⟨ (d f) ξ + f \nabla ξ, X ⟩ \\ = ⟨ (d f) ξ, X ⟩ + ⟨ f \nabla ξ, X ⟩ \\ = (X f) \cdot ξ + f \cdot \nabla_{X} ξ \end{aligned}$
が示される。