準同型写像の核｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

群 $G$ から群 $G^{'}$ への準同型写像の核
$\begin{aligned} K e r f & = {g \in G | f (g) = e_{G^{'}}} \end{aligned}$
は $G$ の正規部分群であることを示せ。ここに $e_{G^{'}}$ は群 $G^{'}$ における単位元を表す。

$\forall g \in G$ に対して、 $\forall k \in K e r f$ を考えると、 $f : G \to G^{'}$ が準同型写像であることより
$\begin{aligned} f (g \circ k \circ g^{- 1}) & = f (g) \circ f (k) \circ f (g^{- 1}) \\ = f (g) \circ e_{G^{'}} \circ f (g^{- 1} \\ = f (g) f (g^{- 1}) \\ = f (g \circ g^{- 1}) \\ = f (e_{G}) \in K e r f \end{aligned}$
が成り立つので、 $g (K e r f) g^{- 1} \subset K e r f$ が言える。