\(f\)が\(x\)を「陽に」含まない場合、すなわち\(f(y(x), y'(x))\)と書ける場合（\(y, y’\)は\(x\)の関数であるので、\(f\)は「陰に」\(x\)に依存することに注意せよ。）
Euler の方程式
\[
\frac{\rm d}{{\rm d} x} \left(\frac{\partial f(y, y’)}{\partial y’} \right) – \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y} = 0
\]
変形 Euler の方程式
\[
f(y, y’) – y’ \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y’} = \mbox{constant}
\]
上記2つの方程式は同値である。
\(f\)が陽に\(x\)を含まない事を明示するために多少面倒であるが\(f(y, y’)\)と書く事にする。
天下り的であるが、変形 Euler の方程式の左辺の時間による全微分を計算する。
\[\begin{align}
&\frac{\rm d}{{\rm d} x}\left( f(y, y’) – y’ \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y’} \right) \\
&= \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y} y’ + \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y’} y” – y” \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y’} – (y’)^2 \frac{\partial^2 f(y, y’)}{\partial y \partial y’} – y’ y” \frac{\partial^2 f(y, y’)}{\partial y’^2} \\
&=y’ \left\{ \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y} – y’ \frac{\partial^2 f(y, y’)}{\partial y \partial y’} – y” \frac{\partial^2 f(y, y’)}{\partial y’^2} \right\}
\end{align}\]
一方で Euler の方程式は
\[\begin{align}
&\frac{\rm d}{{\rm d} x} \left(\frac{\partial f(y, y’)}{\partial y’} \right) – \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y} = 0 \\
&\frac{\partial^2 f(y, y’)}{\partial y \partial y’} y’ + \frac{\partial^2 f(y, y’)}{\partial y’^2} y” – \frac{\partial f(y, y’)}{\partial y} = 0
\end{align}\]
と書きかえる事が出来る。
先の式の\(\left\{\cdots\right\}\)の中身が Euler の方程式の左辺の符合を変えた物に等しい事から、「\(y’\)が恒等的に\(0\)でないとする」と、Euler の方程式が成り立つことと、上式の\(\left\{\cdots\right\}\)が定数である事は同値である。
