ネイピア数

(1)
二項定理を使えば
$$\begin{array}{rl}{a}_n& ={(1+\frac{1}{n})}^n\\ & =\sum _{k=0}^n{}_n{C}_k{1}^{n–k}{\left(\frac{1}{n}\right)}^k\\ & =1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n–1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\cdots +\frac{n(n–1)\cdots 1}{n!}\frac{1}{n^n}\\ & =1+1+\frac{1}{2!}\left(1–\frac{1}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n!}\left(1–\frac{1}{n}\right)\left(1–\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1–\frac{n–1}{n}\right)\\ & <1+1+\frac{1}{2!}\left(1–\frac{1}{n+1}\right)+\cdots +\frac{1}{n!}\left(1–\frac{1}{n+1}\right)\left(1–\frac{2}{n+1}\right)\cdots \left(1–\frac{n–1}{n+1}\right)\\ & +\frac{1}{(n+1)!}\left(1–\frac{1}{n+1}\right)\left(1–\frac{2}{n–1}\right)\cdots \left(1–\frac{n}{n+1}\right)\\ & =1+1+\frac{1}{2!}\frac{n}{n+1}+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{n(n–1)\cdots 2}{(n+1{)}^{n–1}}\\ & +\frac{1}{(n+1)!}\frac{n(n–1)\cdots 2\cdot 1}{(n+1{)}^{n+1}}\\ & ={(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}\\ & =a_{n+1}\end{array}$$
となり、$a_{n+1}>a_n$ が言えるので、この数列は単調増加である。

(2)
(1) において3行目の式から
$$\begin{array}{rl}{a}_n& \le 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}\end{array}$$
が成り立つ。

ここで、$2^{n–1}\le n!(n\in \mathbb{N})$ が成り立つので
$$\begin{array}{rl}{a}_n& \le 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}\cdots +\frac{1}{2^{n–1}}\\ & =2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2^3}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n–4}})\\ & <2+\frac{2}{3}+\frac{1}{8}\cdot 2\\ & =2+\frac{11}{22}\end{array}$$
が示される。

(3)
(1), (2) より $2<\mathrm{e}<3$ であることが分かる。
ここで、$\mathrm{e}$ が有理数であると仮定して矛盾を導く。
すなわち、ある自然数 $m,n$ が存在して $\mathrm{e}=\frac{m}{n}(m,n\in \mathbb{N})$ とする。

関数 ${\mathrm{e}}^x$ に関するマクローリンの定理より、ある $\theta \in (0,1)$ が存在して
$$\begin{array}{rl}e& =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}+\frac{{\mathrm{e}}^{\theta }}{(n+1)!}\end{array}$$
が成り立つ。

これより、両辺に $n!$ をかけて
$$\begin{array}{rl}n!\mathrm{e}–\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!}& =\frac{{\mathrm{e}}^{\theta }}{n+1}\end{array}$$
が得られるが、$\mathrm{e}=\frac{m}{n}$ と仮定していたので、左辺は整数となる。

一方で右辺は $2<\mathrm{e}<3$ を使えば
$$\begin{array}{r}1<\frac{{\mathrm{e}}^{\theta }}{n+1}<\frac{3}{n+1}\end{array}$$
が導かれるが、これより、$n=1$ が得られる。
しかしながら、$n=1$ であれば、$\mathrm{e}$ は自然数となり、$2<\mathrm{e}<3$ と矛盾する。
従って、$\mathrm{e}$ は無理数であることが示された。