$K[X, Y]$ を体 $K$ 上の2変数多項式環とする。
このとき、$X$ と $Y$ で生成される $K[X, Y]$ のイデアル
\begin{align}
(X, Y) \equiv \{f(X, Y) X + g(X, Y) Y | f(X, Y), g(X, Y) \in K[X, Y]\}
\end{align}
は単項イデアルではないことを示せ。
$(X, Y)$ が単項イデアルとして $K[X, Y]$ の 0 でない元 $h(X, Y)$ で生成されるとする。
すなわち、
\begin{align}
(X, Y) = (h(X, Y))
\end{align}
とする。
このとき、ある $f(X, Y), g(X, Y) \in K[X, Y]$ が存在して
\begin{align}
X &= f(X, Y) h(X, Y) \\
Y &= g(X, Y) h(X, Y)
\end{align}
が成り立つ。
第1式の $X$ の次数に着目すると
\begin{align}
h(X, Y) &= a X + b\ (a, b \in K)
\end{align}
が言える。同様に第2式において $Y$ の次数に着目すると
\begin{align}
h(X, Y) &= c Y + d\ (c, d \in K)
\end{align}
が言える。
従って、$f(X, Y) = b_0\ (b_0 \in K\backslash\{0\})$ となる。
このとき、$(X, Y) = (b_0)$ が成り立つことになるが、これは $b_0 \notin (X, Y)$ と矛盾する。
従って、題意が示された。
