$p$ を素数とし、位数 $p$ の群 $G$ が空でない有限集合 $X$ に作用しているとする。
$|X|$ が $p$ の倍数でないとき、$x \in X$ で $|O(x)| = 1$、すなわち、任意の $g \in G$ に対して、$g \circ x = x$ となるものが存在することを示せ。
有限群 $G$ が空でない集合 $X$ に作用するとき、$G$ 軌道と固定部分軍 $G_x$ に対して
\begin{align}
|O(x)| &= |G/G_x| = |G|/|G_x|
\end{align}
が成り立つ。
今、$|G| = p$ ($p$ は素数)であり、$G_x$ は $G$ の部分群であるので $|G_x| = 1$ または $|G_x| = p$ である。
ここで、全ての $x \in X$ に対して $|G_x| = 1$ とすると $|O(x)| = |G| = p$ となり、$|X| = m |O(x)|,\ (m = 1, 2, 3, \cdots)$ が言える。
これは、$|X|$ が $p$ の倍数であることと矛盾する。
従って、ある $x \in X$ が存在して、$|G_x| = p$ となる。
この $x \in X$ に対して、$|O(x)| = 1$ となり、すなわち、任意の $g \in G$ に対して、$g \circ x = x$ が成り立つ。
