第２同型定理

(a)
$H,N$ はともに $G$ の部分群であるので、$H,G$ のどちらにも単位元 $e$ が存在する。
従って、$e\in HN$ が言える。

また、$HN$ の任意の元 $h\circ n\in HN,(h\in H,n\in N)$ を取る。
このとき、$N$ は $G$ の正規部分群であるので、$hN=Nh$ である。
つまり、ある $n^{\prime }\in N$ が存在して、$h\circ n=n^{\prime }\circ h$ が成り立つ。
従って、$h\circ n$ の逆元は
$$\begin{array}{rl}(h\circ n{)}^{-1}& =n^{-1}\circ h^{-1}\\ & =h^{-1}\circ n^{\prime -1}\circ h\circ h^{-1}\\ & =h^{-1}\circ n^{\prime -1}\end{array}$$
となり、$H,N$ ともに $G$ の部分群であるために、$h^{-1}\in H,n^{\prime -1}\in N$ が言えるので
$$\begin{array}{rl}(h\circ n{)}^{-1}& \in HN\end{array}$$
が言える。ここで、2項演算に関する括弧は結合則により省略した。

従って、$HN$ は $G$ の部分群であることが分かる。

次に、$HN=NH$ を示す。
先ず、$HN\subset NH$ を示そう。
任意の $h\circ n\in HN,(h\in H,n\in N)$ を取ると、$N$ は $G$ の正規部分群であるので、ある $n^{\prime }\in N$ が存在して、$h\circ n=n^{\prime }\circ h$ が成り立つ。
すなわち、$h\circ n\in NH$ が言えるので、$HN\subset NH$ となる。

さらに、$NH\subset HN$ を示そう。
任意の $n\circ h\in NH,(n\in N,h\in H)$ を取ると、$N$ は $G$ の正規部分群であるので、ある $n^{\prime }\in N$ が存在して、$n\circ h=h\circ n^{\prime }$ が成り立つ。
すなわち、$n\circ h\in HN$ が言えるので、$NH\subset HN$ となる。

従って、$HN=NH$ が言える。

(b)
$N\subset HN\subset G$ であり、$N$ は $G$ の正規部分群であるので、明らかに $N$ は $HN$ の正規部分群となる。

次に $H\cap N$ が $H$ の正規部分群となることを示す。
先ず、$H\cap N$ が部分群であることを示そう。
$H,N$ ともに $G$ の部分群であるので、単位元が $H\cap N$ に存在する。
また、任意の $x\in H\cap N$ を取ると、$x\in H,x\in N$ であるので、$H,N$ が $G$ の部分群であることから、$x^{-1}\in H,x^{-1}\in N$ が言える。従って、$x^{-1}\in H\cap N$ となり、逆元の存在も言える。
最後に任意の元 $x_1,x_2\in H\cap N$ を考える。すなわち、$x_1,x_2\in H,x_1,x_2\in N$ とする。
$H,N$ はともに $G$ の部分群であることから、$x_1\circ x_2\in H,x_1\circ x_2\in N$ となる。
従って、$x_1\circ x_2\in H\cap N$ が言えるので、$H\cap N$ は $G$ の部分群をなす。

さらに、$H\cap N\subset H$ であることから、$H$ の部分群であると言える。

また、$H\cap N\subset H\subset G$ であり、$N$ は $G$ の正規部分群であるので、$H\cap N$ は $H$ の正規部分群であると言える。

(c)
(b) の結果より、剰余群 $HN/N,H/(H\cap N)$ が各々定義される。
ここで、写像 $\phi :HN/N\to H/(H\cap N)$ を以下のように定める。
$HN/N$ の任意の元を $hN,(h\in H)$ とする、このとき、$\phi (hN)=h(H\cap N)$ で定める。
この写像が well-defined であることは、以下のようにして分かる。
$h_{1}N=h_{2}N,(h_1,h_2\in H)$ とする。
すなわち、ある $n_1,n_2\in N$ が存在して、$h_1\circ n_1=h_2\circ n_2$ が成り立つ。
このとき、
$$\begin{array}{rl}{h}_1\circ n_1& =h_2\circ n_2\\ h_1& =h_2\circ n_2\circ n_1^{-1}\\ h_1(H\cap N)& =(h_2\circ n_2\circ n_1^{-1})(H\cap N)\\ h_1(H\cap N)& =(h_2\circ n_2)(H\cap N)\\ h_1(H\cap N)& =h_2(H\cap N)\end{array}$$
より、$h_1(H\cap N)=h_2(H\cap N)$ が言える。従って、この写像 $\phi$ は well-defined である。

また、この写像は準同型写像であることが次のようにして分かる。
$h_1,h_2\in H$ とする。
このとき
$$\begin{array}{rl}\phi (h_1\circ h_2)& =(h_1\circ h_2)(H\cap N)\end{array}$$
となるが、もう一方で
$$\begin{array}{rl}\phi (h_1)\phi (h_2)& =(h_1(H\cap N))(h_2(H\cap N))\\ & =(h_1\circ h_2)(H\cap N)\end{array}$$
となる。ここで $H\cap N$ が $H$ の正規部分群であることを用いて剰余類の元における演算が well-defined に定義されることを用いた。
従って、写像 $\phi$ は準同型写像である。

最後に、写像 $\phi$ が全単射であることを示す。
任意の $H/(H\cap N)$ の元 $h(H\cap N)$ に対して、$hN\in HN/N$ を取れば、$\phi (hN)=h(H\cap N)$ となるので、$\phi$ は全射である。
また、$h_1(H\cap N)=h_2(H\cap N)$ とするとき、ある $x,x^{\prime }\in H\cap N$ が存在して
$$\begin{array}{rl}{h}_1\circ x& =h_2\circ x^{\prime }\\ h_1& =h_2\circ x^{\prime }\circ x^{-1}\end{array}$$
が成り立つ。ここで、$x,x^{\prime }\in N$ に注意すれば
$$\begin{array}{rl}{h}_{1}N& =(h_2\circ x^{\prime }\circ x^{-1})N\\ h_{1}N& =h_{2}N\end{array}$$
が言える。従って、$\phi$ は単射である。

以上の議論により、$\phi$ は全単射であることが言えるので
$$\begin{array}{r}HN/N\cong H/(H\cap N)\end{array}$$
が結論付けられる。

※ (b), (c) については、準同型定理を使えばもっとシンプルに証明することが出来るが、愚直な証明を試みた。