4次対称群 $S_4$ の部分集合 $V$ を
\begin{align}
V &= \{(1), (1\ 2) \circ (3\ 4), (1\ 3) \circ(2\ 4), (1\ 4) \circ (2\ 3)\}
\end{align}
とする。
このとき、$V$ は置換の合成を演算として群になることを示せ。
この $S_4$ の部分群 $V$ をクラインの4元群という。
先ず単位元は $(1)$ であり、$(1) \in V$ より、$V$ の中に存在する。
また、$V$ の各元の逆元は、その元自身であるために、やはり、全ての元の逆元も $V$ の中に存在する。
以下、簡単のために $V$ の各元に名前をつけておく。
\begin{align}
(1) &= e \\
(1\ 2) \circ (3\ 4) &= c_1 \\
(1\ 3) \circ (2\ 4) &= c_2 \\
(1\ 4) \circ (2\ 3) &= c_3
\end{align}
とする。
このとき、単純な計算により
\begin{align}
c_1 \circ c_2 &= c_3 \\
c_1 \circ c_3 &= c_2 \\
c_2 \circ c_1 &= c_3 \\
c_2 \circ c_3 &= c_1 \\
c_3 \circ c_1 &= c_2 \\
c_3 \circ c_2 &= c_1
\end{align}
が確かめられるので、$V$ の任意の2つの元を演算させても、やはり $V$ の中にあることが分かる。
これより、$V$ は群となっていることが示された。
