群の基本的な性質

(a)
$a\circ b=a\circ c$ が成り立つとき、$a$ の逆元 $a^{-1}$ を左から両辺にかけて、結合則を使うことにより
$$\begin{array}{rl}{a}^{-1}\circ (a\circ b)& =a^{-1}\circ (a\circ c)\\ (a^{-1}\circ a)\circ b& =(a^{-1}\circ a)\circ c\\ e\circ b& =e\circ c\\ b& =c\end{array}$$
が示される。

同様にして、$b\circ a=c\circ a$ の両辺に右から $a^{-1}$ をかけて、結合則を使うことにより、$b=c$ が示される。

(b)
$a\circ x=b$ となる $x\in G$ は、具体的に $x=a^{-1}\circ b$ とすることによって得られることが、結合則を使うことにより、次のようにして分かる。
$$\begin{array}{rl}a\circ (a^{-1}\circ b)& =(a\circ a^{-1})\circ b\\ & =e\circ b\\ & =b\end{array}$$
さらに、このような $x\in G$ がただ1つであることは、$a\circ x=b,a\circ x^{\prime }=b$ とするとき
$$\begin{array}{rl}a\circ x& =b=a\circ x^{\prime }\\ a^{-1}\circ (a\circ x)& =a^{-1}\circ (a\circ x^{\prime })\\ (a^{-1}\circ a)\circ x& =(a^{-1}\circ a)\circ x^{\prime }\\ e\circ x& =e\circ x^{\prime }\\ x& =x^{\prime }\end{array}$$
となることより分かる。

全く同様にして、$y\circ a=b$ となる $y\in G$ が、$y=b\circ a^{-1}$ のただ1つに決まることが分かる。

(c)
先ず、写像 $l_a:G\to G$ が全射であることを示す。
任意の $b\in G$ に対して、$a\circ x=b$ となる $x\in G$ が存在することは、(b) によって示した。
すなわち、$l_a$ は全射である。

次に単射であることを示す。
$a\circ x=a\circ x^{\prime }$ とするとき、$a^{-1}$ を両辺に左からかけて結合則を使うことにより $x=x^{\prime }$ が言える。
すなわち、$l_a$ は単射である。

これより、$l_a$ は全単射であることが言える。

全く同様にして、$r_b$ が全単射であることも分かる。