ナッシュ均衡

ゲームの参加者に各々1から9までの番号を割り振り、各参加者を $i\ (i = 1, 2, \cdots, 9)$ で区別する。
参加者 $i$ が紙に書く数字を $X_i$ とする。

このとき、
\begin{align}
X_i &= 0\ {\rm for\ all\ {\it i}\ ({\it i} = 1, 2, 3, \cdots, 9)}
\end{align}
はナッシュ均衡を与えることが以下のようにして分かる。

ある特定の参加者 $i\ (1 \le i \le 9)$ について考える。
参加者 $i$ 以外のプレイヤーが全員 $0$ と書いた場合、参加者 $i$ がどのような実数を書けば最適かを考える。
例えば、$X_i \neq 0$ と書いたとする。このとき
\begin{align}
X^{*} &= \frac{X_i}{10}
\end{align}
となり、
\begin{align}
\left|\frac{X_i}{10} – X_i\right| &= \frac{9}{10} X_i > \left|\frac{X_i}{10} – 0\right| = \frac{X_i}{10}
\end{align}
となるために、参加者 $i$ は $X_i \neq 0$ と書けば、何も得ることが出来ない。
一方で、参加者 $i$ が他の参加者に合わせて $0$ を書けば100円を得ることが出来るので、これが参加者 $i$ の最善の戦略となる。

この議論は全ての参加者 $i\ (1 \le 9)$ について成り立つので、
\begin{align}
X_i &=0\ \mbox{for all $i\ (1 \le i \le 9)$}
\end{align}
はナッシュ均衡を与える。

さらに、このゲームにおいて、上記以外のナッシュ均衡は存在しないことが次のようにして分かる。

仮に、$X_i = \overline{X}_i$ がナッシュ均衡を与えると仮定する。
このとき、参加者 $i$の戦略について考える。
\begin{align}
X^{*} &= \frac{\overline{X}_1 + \cdots + \overline{X}_9}{10}
\end{align}
として
\begin{align}
\left|X^{*} – \overline{X}_i\right|
\end{align}
を考える。
ここで、$X_i = \overline{X}_i – \epsilon\ (\epsilon > 0)$ （かつ $\epsilon$ は十分に小さい実数とする）を考えると
\begin{align}
\left|X^{*} – (\overline{X}_i – \epsilon)\right| &=
\left|X^{*} – \overline{X}_i + \epsilon\right|
\end{align}
となるが、$\overline{X}_i$ がナッシュ均衡であるという仮定から
\begin{align}
\left|X^{*} – \overline{X}_i + \epsilon\right| &\ge
\left|X^{*} – \overline{X}_i\right|
\end{align}
でなくてはならない。なぜなら、これが成り立たない場合には、$\overline{X}_i$ がプレイヤー$i$の最善の戦略ではなく$\overline{X}_i – \epsilon$ が最善の戦略となるからである。
これは、
\begin{align}
X^{*} – \overline{X}_i \ge 0
\end{align}
を意味する。(ここで、$\epsilon$ が十分に小さいという条件を用いた。）

さらに、同じ様に、$X_i = \overline{X}_i + \epsilon\ (\epsilon > 0)$ を考えることにより、同様の議論から
\begin{align}
X^{*} – \overline{X}_i \le 0
\end{align}
が得られる。２つの条件を合わせると
\begin{align}
X^{*} – \overline{X}_i &= 0
\end{align}
が得られる。
これは
\begin{align}
\frac{\overline{X}_1 + \cdots + \overline{X}_9}{10} &= \overline{X}_i
\end{align}
であるが、これが全ての $i = 1, 2, \cdots, 9$ に対して成り立つはずなので、全ての $i$ について足せば
\begin{align}
\frac{9}{10}(\overline{X}_1 + \cdots + \overline{X}_9) &= \overline{X}_1 + \cdots + \overline{X}_9 \\
\overline{X}_1 + \cdots + \overline{X}_9 &=0
\end{align}
ここで、$\overline{X}_i \ge 0$ であるので、
\begin{align}
\overline{X}_i &=0\ \mbox{for all $i\ (1\le i \le 9)$}
\end{align}
が得られる。すなわち、このゲームのナッシュ均衡は先に述べた $X_i = 0\ ({\rm for\ all}\ {\it i})$ のみであることが分かる。