確率変数\(X\)の確率密度関数\(f(x)\)が
\[\begin{align}
f(x) &= \frac{1}{5}\ (0 \le x \le 5) \\
f(x) &= 0\ (x < 0, 5 < x)
\end{align}\]
で表されるとき、\(X\)の分散を求めよ。
\[\begin{align}
\langle X \rangle &= \int x f(x) {\rm d} x \\
&= \int_0^5 x \frac{1}{5} {\rm d} x \\
&= \frac{1}{5}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^5 \\
&= \frac{5}{2} \\
\langle X^2 \rangle &= \int x^2 f(x) {\rm d} x \\
&=\int_0^5 x^2 \frac{1}{5} {\rm d} x \\
&= \frac{1}{5} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^5 \\
&= \frac{25}{3}
\end{align}\]
これより、分散\(\sigma\)は
\[\begin{align}
\sigma &= \langle X^2 \rangle – \langle X \rangle^2 \\
&= \frac{25}{3} – \left(\frac{5}{2}\right)^2 \\
&= \frac{25}{12}
\end{align}\]
と求まる。
