演算子の関係式

\[
\exp[\lambda(\hat{A} + \hat{B})] = \hat{U}(\lambda) \exp(\lambda \hat{B})
\]
とおいて、\(\hat{U}(\lambda)\)の満たす微分方程式を考える。
上式を変形すると
\[
\hat{U}(\lambda) = \exp[\lambda(\hat{A} + \hat{B})] \exp(-\lambda \hat{B})
\]
であり、これを\(\lambda\)で微分すると
\[\begin{align}
\frac{{\rm d} \hat{U}(\lambda)}{{\rm d}\lambda} &= \exp[\lambda(\hat{A} + \hat{B})](\hat{A} + \hat{B}) \exp(- \lambda \hat{B}) – \exp[\lambda(\hat{A} + \hat{B})] \hat{B} \exp(- \lambda \hat{B}) \\
&= \exp[\lambda(\hat{A} + \hat{B})] \hat{A} \exp(-\lambda \hat{B}) \\
&= \hat{U}(\lambda) \exp(\lambda \hat{B}) \hat{A} \exp(- \lambda \hat{B})
\end{align}\]
となるので
\[\begin{align}
\hat{A}(\lambda) &= \exp(\lambda \hat{B}) \hat{A} \exp(-\lambda \hat{B}) \\
&= \hat{A} + \lambda [\hat{B}, \hat{A}] + \frac{\lambda^2}{2!}[\hat{B}, [\hat{B},\hat{A}]] + \cdots
\end{align}\]
と定義すると、\(\hat{U}(\lambda)\)は以下の微分方程式を満たす。（上式の1行目から2行目の変形は、「補遺」で証明する。）
\[
\frac{{\rm d} \hat{U}(\lambda)}{{\rm d} \lambda} = \hat{U}(\lambda) \hat{A}(\lambda)
\]
今、\([\hat{B}, \hat{A}]\)がc数であると仮定しているので、
\[
\hat{A}(\lambda) = \hat{A} + \lambda [\hat{B}, \hat{A}]
\]
となり、\([\hat{A}(\lambda), \hat{A}(\lambda’)] = 0\)（\(\lambda \neq \lambda’\)）が成立するので、この微分方程式の解は
\[\begin{align}
\hat{U}(\lambda) &= \exp\left[\int_0^{\lambda} \hat{A}(\lambda’) {\rm d}\lambda \right] \\
&= \exp \left(\lambda \hat{A} + \frac{\lambda^2}{2!}[\hat{B},\hat{A}]\right)
\end{align}\]
となる。従って
\[
\exp[\lambda(\hat{A} + \hat{B})] = \exp\left(\lambda \hat{A} + \frac{\lambda^2}{2!}[\hat{B},\hat{A}]\right) \exp(\lambda \hat{B})
\]
が成り立つ。
ここで、\(\lambda = 1\)とすれば、証明すべき式が導かれる。

「補遺」
\[
\exp(\lambda \hat{B}) \hat{A} \exp(- \lambda \hat{B}) = \hat{A} + \frac{\lambda}{1!} [\hat{B}, \hat{A}] + \frac{\lambda^2}{2!} [\hat{B}, [\hat{B}, \hat{A}]] + \frac{\lambda^3}{3!} [\hat{B}, [\hat{B}, [\hat{B}, \hat{A}]]] + \cdots
\]
この等式は、左辺を\(\lambda = 0\)において、Taylor展開したものである。

実際に、第1項は
\[
\hat{A}(0) = \hat{A}
\]
であり、右辺第1項に一致する。第2項は
\[\begin{align}
\frac{{\rm d} \hat{A}(\lambda)}{{\rm d} \lambda} &= \exp(\lambda \hat{B}) \hat{B} \hat{A} \exp(- \lambda \hat{B}) – \exp(\lambda \hat{B}) \hat{A} \hat{B} \exp(- \lambda \hat{B}) \\
&= \exp(\lambda \hat{B}) [\hat{B}, \hat{A}] \exp(- \lambda \hat{B})
\end{align}\]
において\(\lambda = 0\)とすれば、
\[
[\hat{B}, \hat{A}]
\]
となるので、右辺第2項に一致する。続いて、第3項は
\[\begin{align}
\frac{{\rm d}^2 \hat{A}(\lambda)}{{\rm d} \lambda^2} &= \frac{\rm d}{{\rm d} \lambda} \frac{{\rm d} \hat{A}(\lambda)}{{\rm d} \lambda} \\
&= \frac{\rm d}{{\rm d} \lambda} \exp(\lambda \hat{B}) [\hat{B}, \hat{A}] \exp(- \lambda \hat{B}) \\
&= \exp(\lambda \hat{B}) [\hat{B}, [\hat{B}, \hat{A}]] \exp(- \lambda \hat{B})
\end{align}\]
から、右辺第3項に一致する。

この計算から分かるように、\(\lambda\)での微分を一回増やす度に、\(\hat{B}\)との交換関係が一回増えることが分かり、一般項が容易に導かれる。