真空中を伝わる電磁波

真空中の電場 $\vec{E}(\vec{r}, t)$ と磁場 $\vec{B}(\vec{r}, t)$ は次の Maxwell 方程式によって記述される。ここに、$\vec{r} = (x, y, z)$ とする。
\begin{eqnarray}
{\rm div} \vec{E} &=& 0 \cdots (1) \\
{\rm div} \vec{B} &=& 0 \cdots (2) \\
{\rm rot} \vec{B} &=& \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdots (3) \\
{\rm rot} \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} &=& \vec{0} \cdots (4)
\end{eqnarray}

先ず、任意のベクトル場 $\vec{A}(\vec{r}, t)$ について
\begin{eqnarray}
{\rm rot}\ {\rm rot} \vec{A} = {\rm grad}\ {\rm div} \vec{A} – \Delta \vec{A}
\end{eqnarray}
が成り立つ事に注意する。この証明は以前の記事を参照のこと。（様々な微分演算子に関する公式)

式(3) の両辺の ${\rm rot}$ を取って、この関係式を使えば
\begin{eqnarray}
{\rm grad}\ {\rm div} \vec{B} – \Delta \vec{B} &=& – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{B} \\
\left(\Delta – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{B} &=& \vec{0} \cdots (5)
\end{eqnarray}
が成り立つ。ここで、式(2)と式(4)を使った。

同様にして、式(4)の ${\rm rot}$ を取れば
\begin{eqnarray}
{\rm rot}\ {\rm rot} \vec{E} + \frac{\partial}{\partial t} {\rm rot} \vec{B} &=& \vec{0} \\
{\rm grad}\ {\rm div} \vec{E} – \Delta \vec{E} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{E} &=& \vec{0} \\
\left(\Delta – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{E} &=& \vec{0} \cdots (6)
\end{eqnarray}
が導かれる。ここで、式(1)と式(3)を使った。

ここで、電場と磁場を $\vec{k}$ 方向に振動数 $\omega$ で進む平面波だとすると
\begin{eqnarray}
\vec{E}(\vec{r}, t) &=& \vec{E}_0 {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] \cdots (7) \\
\vec{B}(\vec{r}, t) &=& \vec{B}_0 {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] \cdots (8)
\end{eqnarray}
と書ける。ここで、$\vec{E}_0 \equiv (E_{0x}, E_{0y}, E_{0z}), \vec{B}_0 \equiv (B_{0x}, B_{0y}, B_{0z})$ とする。

さらに、式(7) を式(6) に代入することにより
\begin{eqnarray}
\left(\Delta – \epsilon_0 \mu_o \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{E}_0 {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] &=& \vec{0} \\
\left(|\vec{k}|^2 – \epsilon_0 \mu_0 \omega^2\right) \vec{E}_0 {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] &=& \vec{0}
\end{eqnarray}
が成り立つ。ここに、$|\vec{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$ である。
この式が任意の場所 $\vec{r}$ と任意の時間 $t$ で成り立たなくてはならないので
\begin{eqnarray}
\vec{|k}|^2 – \epsilon_0 \mu_0 \omega^2 &=& 0 \\
\frac{\omega}{|\vec{k}|} &=& \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}
\end{eqnarray}
が成り立つ。ここで、左辺は式(7)で表される電場の速さであるので、真空中であれば、光速 $c$ に等しいことが分かる。すなわち
\begin{eqnarray}
c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}
\end{eqnarray}
が成り立つ。

式(8)を式(5)に代入することにより、全く同様の計算で
\begin{eqnarray}
\left(|\vec{k}|^2 – \epsilon_0 \mu_0 \omega^2\right) \vec{B}_0 {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] &=& \vec{0}
\end{eqnarray}
が得られる。これは、磁場 $\vec{B}(\vec{r}, t)$ も電場と同じ光速 $c$ で進むことを示している。

式(7)を式(1)に代入すれば
\begin{eqnarray}
{\rm div} \vec{E}_0 {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial x} {E}_{0x} {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] +
\vec{k} \cdot \vec{E}_0 {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] &=& 0
\end{eqnarray}
が得られ、これは
\begin{eqnarray}
\vec{k} \cdot \vec{E}_0 &=& 0
\end{eqnarray}
を意味するので、$\vec{k}$ と $\vec{E}$ の内積が $0$ であるので、$\vec{k}$ と $\vec{E}$ は直交することが分かる。すなわち、電場 $\vec{E}(\vec{r}, t)$ は横波である。

全く同様の計算を、式(8)と式(2)に対して行えば
\begin{eqnarray}
\vec{k} \cdot \vec{B}_0 &=& 0
\end{eqnarray}
が得られるので、$\vec{k}$ と $\vec{B}(\vec{r}, t)$ も直交することが分かる。すなわち、磁場 $\vec{B}$ も横波である。

式(7)と式(8)を式(3)に代入すれば
\begin{eqnarray}
{\rm rot} \vec{B}_0 {\rm exp}\left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right] &=& \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E}_0 {\rm exp} \left[i (\vec{k} \cdot \vec{r} – \omega t)\right]
\end{eqnarray}
となり、
\begin{eqnarray}
\vec{k} \times \vec{B}_0 &=& – \omega \epsilon_0 \mu_0 \vec{E}_{0}
\end{eqnarray}
が得られる。

従って、$\vec{E}_0$ と $\vec{B}_0$ も互いに直交することが分かる。