準基底

(1) $\Rightarrow$ (2)

$f$ が連続であるとする。
このとき、$O \in \mathfrak{M}$ とすると、$O$ は $Y$ の開集合である。
従って、$f^{-1}(O)$ は $X$ において開集合となり、$f^{-1}(O) \in \mathfrak{D}_X$ が成り立つ。

(1) $\Leftarrow$ (2)

$\forall O \in \mathfrak{M}, f^{-1}(O) \in \mathfrak{D}_X$ とする。
このとき
\begin{align}
\mathfrak{D} = \{A \subset Y| f^{-1}(A) \in \mathfrak{D}_X\}
\end{align}
と定めると、$\mathfrak{D}$ が $Y$ の位相となることが以下のようにして分かる。

まず、$f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$ と $f^{-1}(Y) = X$ より、$\emptyset, Y \in \mathfrak{D}$ が言える。

さらに、$A_1, A_2 \in \mathfrak{D}$ とするとき、$f^{-1}(A_1), f^{-1}(A_2) \in \mathfrak{D}_X$ であるので
\begin{align}
f^{-1}(A_1 \cap A_2) = f^{-1}(A_1) \cap f^{-1}(A_2) \in \mathfrak{D}_X
\end{align}
となり、$A_1 \cap A_2 \in \mathfrak{D}$ となる。

最後に、$(A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を $\mathfrak{D}$ の元からなら集合族とすると、$f^{-1}(A_{\lambda}) \in \mathfrak{D}_X$ であるので
\begin{align}
f^{-1}\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}\right) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(A_\lambda) \in \mathfrak{D}_X
\end{align}
が成り立つ。

以上より、$\mathfrak{D}$ は $Y$ の位相となる。

ここで、$\mathfrak{M} \subset \mathfrak{D}$ であるので、$\mathfrak{D}_Y = \mathfrak{M} \subset \mathfrak{D}$ であり、$f$ は連続であることが分かる。

以上の議論より、(1), (2) は同値であることが分かる。