量子力学

Pauli行列の性質2

\(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_x\)を Pauli 行列(参照問題)とし、\(\sigma_0\)を2行2列の単位行列とし、次の行列\(\sigma_{\theta,\phi}\)を定義する。
\[
\sigma_{\theta,\phi} = \sin\theta \cos\phi\ \sigma_x + \sin\theta \sin\phi\ \sigma_y + \cos\theta\ \sigma_z
\]
このとき、
\[
\sigma_{\theta,\phi}^2 = \sigma_0
\]
を示し、
\[
\exp\left[- {\rm i}\frac{\varphi}{2}\sigma_{\theta,\phi}\right] = \cos\frac{\varphi}{2} \sigma_0 – {\rm i} \sin\frac{\varphi}{2} \sigma_{\theta,\phi}
\]
が成り立つことを示せ。

また、\(\sigma_z\)の2つの固有状態を
\[
|0\rangle =
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right),\ \ \
|1\rangle =
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)
\]
と表記するとき、次で定義される状態\(|\theta, \phi \rangle, |\theta + \pi, \phi \rangle\)は\(\sigma_{\theta,\phi}\)の固有状態であり、その固有値は各々\(1\)と\(-1\)であることを示せ。
\[\begin{align}
|\theta, \phi \rangle &= {\rm e}^{- {\rm i}\phi/2} \cos\frac{\theta}{2} |0 \rangle + {\rm e}^{{\rm i}\phi/2} \cos\frac{\theta}{2} |1 \rangle \\
|\theta + \pi, \phi \rangle &= {\rm e}^{- {\rm i}\phi/2} \sin\frac{\theta}{2} |0 \rangle + {\rm e}^{{\rm i}\phi/2} \cos\frac{\theta}{2} |1 \rangle
\end{align}\]

\[\begin{align}
\sigma_{\theta,\phi} &= (\sin^2\theta \cos^2\phi + \sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta) \sigma_0 + \\
&\ \ \ \sin^2\theta \cos\phi \sin\phi \left\{\sigma_x, \sigma_y\right\} + \sin\theta \cos\theta \cos\phi \left\{\sigma_x, \sigma_z \right\} + \sin\theta \cos\theta \sin\phi \left\{\sigma_y, \sigma_z\right\} \\
&= \sigma_0
\end{align}\]
ここで、前の問題の結果を用いた。

\[
\exp\left[- {\rm i}\frac{\varphi}{2}\sigma_{\theta,\phi}\right] = \cos\frac{\varphi}{2} \sigma_0 – {\rm i} \sin\frac{\varphi}{2} \sigma_{\theta,\phi}
\]
の証明についても\(\sigma_{\theta,\phi}^2 = \sigma_0\)が成り立つことから、前の問題と全く同様の計算で示すことが出来る。

\[\begin{align}
\sigma_x |0\rangle &=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)
= |1 \rangle \\
\sigma_y |0\rangle &=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & – {\rm i} \\
{\rm i} & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
{\rm i} \\
\end{array}
\right)
= {\rm i} |1 \rangle \\
\sigma_z |0\rangle &=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
= |0 \rangle \\
\sigma_x |1\rangle &=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
= |0 \rangle \\
\sigma_y |1\rangle &=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & – {\rm i} \\
{\rm i} & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
– {\rm i} \\
0 \\
\end{array}
\right)
= – {\rm i} |0 \rangle \\
\sigma_z |1\rangle &=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)
= – |1 \rangle
\end{align}\]
を用いれば
\[\begin{align}
\sigma_{\theta,\phi} | \theta, \phi \rangle &= {\rm e}^{-{\rm i}\phi/2} \cos\frac{\theta}{2}\left(\sin\theta \cos\phi |1\rangle + {\rm i} \sin\theta \sin\phi |1\rangle + \cos\theta |0\rangle \right) + \\
&\ \ \ {\rm e}^{{\rm i}\phi/2} \sin\frac{\theta}{2} \left(\sin\theta \cos\phi |0\rangle – {\rm i} \sin\theta \sin\phi |0\rangle – \cos\theta |1\rangle \right) \\
&= {\rm e}^{- {\rm i}\phi/2} \cos\frac{\theta}{2} |0 \rangle + {\rm e}^{{\rm i}\phi/2} \cos\frac{\theta}{2} |1 \rangle \\
&= |\theta, \phi \rangle
\end{align}\]
となり、\(|\theta, \phi \rangle\)は\(\sigma_{\theta,\phi}\)の固有値\(1\)の固有状態であることが分かる。

\(|\theta + \pi, \phi \rangle\)については
\[
\sigma_{\theta + \pi, \phi} = – \sigma_{\theta,\phi}
\]
であることに注意すれば、\(\sigma_{\theta,\phi}\)の固有値\(-1\)の固有状態であることが分かる。