並進操作を与えるユニタリー変換

ここで、\(\left[\hat{p}^n,\hat{x}\right]\)を次のようにして計算すると
\[\begin{align}
\left[\hat{p}^n,\hat{x}\right] &= \hat{p}^{n – 1} \left[\hat{p},\hat{x}\right] + \hat{p}^{n – 2}\left[\hat{p},\hat{x}\right]\hat{p} + \cdots + \left[\hat{p},\hat{x}\right] \hat{p}^{n – 1} \\
&= – n {\rm i} \hbar \hat{p}^{n – 1}
\end{align}\]
が成り立つ。もう一度左辺をあからさまに書けば
\[
\hat{p}^n \hat{x} – \hat{x}\hat{p}^n = – n {\rm i} \hbar {p}^{n – 1}
\]
となる。
ここで、\(a\)を任意の実数として、この両辺に\(\frac{({\rm i} a/\hbar)^n}{n!}\)をかけて、\(n = 0\)から\(\infty\)までの和を取ると
\[\begin{align}
{\rm e}^{{\rm i} \hat{p} a/\hbar} \hat{x} – \hat{x} {\rm e}^{{\rm i}\hat{p} a/\hbar} &= {\rm e}^{{\rm i} \hat{p} a/\hbar} a \\
{\rm e}^{{\rm i} \hat{p} a/\hbar} \hat{x} {\rm e}^{-{\rm i} \hat{p} a/\hbar} &= \hat{x} + a
\end{align}\]
が成り立つ。ここで、演算子の指数関数は
\[
{\rm e}^{\hat{A}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \hat{A}^n
\]
と定義される。
言うまでもなく
\[
{\rm e}^{{\rm i} \hat{p} a/\hbar} \hat{p} {\rm e}^{-{\rm i} \hat{p} a/\hbar} = \hat{p}
\]
も成り立つので、
\[
T_{a} = {\rm e}^{{\rm i} \hat{p} a/\hbar}
\]
が一次元の場合の並進操作を与える演算子だと言える。\(a\)が実数であるので、運動量演算子\(\hat{p}\)のエルミート性から
\[
T_{a}^{\dagger} = {\rm e}^{-{\rm i} \hat{p} a/\hbar}
\]
が言え、この並進操作を与える演算子はユニタリー変換である事が分かる。すなわち
\[
T_{a} T_{a}^{\dagger} = T_{a}^{\dagger} T_{a} = \hat{1}
\]
である。ここに\(\hat{1}\)は恒等変換である。

これを3次元に拡張するには、運動量演算子の\(x, y, z\)成分である\(\hat{p}_x, \hat{p}_y, \hat{p}_z\)が各々交換することに注意すれば、\(\vec{a}\)を3次元実成分ベクトルとするとき
\[
T_{\vec{a}} = {\rm e}^{{\rm i} \hat{\vec{p}}\cdot\vec{a}/\hbar} = {\rm e}^{{\rm i} \hat{p}_x a_x/\hbar} {\rm e}^{{\rm i} \hat{p}_y a_y/\hbar} {\rm e}^{{\rm i} \hat{p}_z a_z/\hbar}
\]
と拡張すれば
\[\begin{align}
T_{\vec{a}} \hat{\vec{r}} T_{\vec{a}}^{\dagger} &= \hat{\vec{r}} + \vec{a} \\
T_{\vec{a}} \hat{\vec{p}} T_{\vec{a}}^{\dagger} &= \hat{\vec{p}}
\end{align}\]
となる事を確かめることが出来る。

従って\(T_{\vec{a}}\)が並進操作を与えるユニタリー変換である事が分かる。