コヒーレント状態の規格化

以前の問題の「1次元調和振動子の第2量子化とコヒーレント状態」において、コヒーレント状態\(|\alpha \rangle\)は消滅演算子\(\hat{a}\)の固有状態であり、その固有値が\(\alpha\)である事を使う。

\[\begin{align}
\langle \alpha | \alpha \rangle &= {\rm e}^{- \frac{|\alpha|^2}{2}} \langle 0| \left( {\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} | \alpha \rangle \right) \\
&= {\rm e}^{- \frac{|\alpha|^2}{2}} \langle 0| {\rm e}^{|\alpha|^2} | \alpha \rangle \\
&= {\rm e}^{\frac{|\alpha|^2}{2}} \langle 0 | \left({\rm e}^{- \frac{|\alpha|^2}{2}} {\rm e}^{\alpha \hat{a}^{\dagger}} | 0 \rangle \right) \\
&= \left( \langle 0| {\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} \right) |0 \rangle \\
&= \langle 0 | 0 \rangle \\
&= 1
\end{align}\]

ここで、
\[
{\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} |0 \rangle = |0 \rangle
\]
を使った。

また、コヒーレント状態が消滅演算子の固有状態である事を使わなくても、以前の問題の「演算子において成り立つ関係式」を使う事によっても示すことが出来る。
すなわち、演算子\(\hat{A}, \hat{B}\)において\([\hat{B}, \hat{A}]\)がc数である時
\[
{\rm e}^{\hat{A} + \hat{B}} = {\rm e}^{\frac{1}{2}[\hat{B}, \hat{A}]} {\rm e}^{\hat{A}} {\rm e}^{\hat{B}}
\]
が成り立つことを使う。

ここで、
\[
\hat{A} = \alpha \hat{a}^{\dagger}, \hat{B} = \alpha^{*} \hat{a}
\]
と
\[
\hat{A} = \alpha^{*} \hat{a}, \hat{B} = \alpha \hat{a}^{\dagger}
\]
について上記の関係式を書くと
\[\begin{align}
{\rm e}^{\alpha \hat{a}^{\dagger} + \alpha^{*} \hat{a}} &= {\rm e}^{\frac{|\alpha|^2}{2}} {\rm e}^{\alpha \hat{a}^{\dagger}} {\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} \\
{\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a} + \alpha \hat{a}^{\dagger}} &= {\rm e}^{- \frac{|\alpha|^2}{2}} {\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} {\rm e}^{\alpha \hat{a}^{\dagger}}
\end{align}\]
となるが、この2式は等しいので
\[
{\rm e}^{|\alpha|^2} {\rm e}^{\alpha \hat{a}^{\dagger}} {\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} = {\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} {\rm e}^{\alpha \hat{a}^{\dagger}}
\]
が成り立つことが分かる。

問題で定義された、コヒーレント状態のノルムを計算すると
\[\begin{align}
\langle \alpha | \alpha \rangle &= {\rm e}^{- |\alpha|^2} \langle 0| \left({\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} {\rm e}^{\alpha \hat{a}^{\dagger}} |0 \rangle \right) \\
&= {\rm e}^{- |\alpha|^2} {\rm e}^{|\alpha|^2} \langle 0 | \left({\rm e}^{\alpha \hat{a}^{\dagger}} {\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} |0 \rangle \right) \\
&= \left(\langle 0 | {\rm e}^{\alpha^{*} \hat{a}} \right) |0 \rangle \\
&= \langle 0|0 \rangle \\
&= 1
\end{align}\]
となり、題意が示された。