次の極限値を求めよ。
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 n k – k^2}}
\]
\[\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 n k – k^2}}
&= \lim_{n \to \infty} \sum_{k – 1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \left(\frac{k}{n}\right) – \left(\frac{k}{n}\right)^2}} \cdot \frac{1}{n} \\
&= \int_0^1 \frac{{\rm d} x}{\sqrt{2 x – x^2}} \\
&= \int_0^1 \frac{{\rm d} x}{\sqrt{1 – (1 – x)^2}} \\
&= \int_0^1 \frac{{\rm d} x’}{\sqrt{1 – x’^2}} \\
&= \left[- \cos^{-1} x’\right]_0^1 \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{align}\]
ここに、積分において\(1- x = x’\)なる変数変換をした。
\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 n k – k^2}}
&= \lim_{n \to \infty} \sum_{k – 1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \left(\frac{k}{n}\right) – \left(\frac{k}{n}\right)^2}} \cdot \frac{1}{n} \\
&= \int_0^1 \frac{{\rm d} x}{\sqrt{2 x – x^2}} \\
&= \int_0^1 \frac{{\rm d} x}{\sqrt{1 – (1 – x)^2}} \\
&= \int_0^1 \frac{{\rm d} x’}{\sqrt{1 – x’^2}} \\
&= \left[- \cos^{-1} x’\right]_0^1 \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{align}\]
ここに、積分において\(1- x = x’\)なる変数変換をした。
