\(i\)を虚数単位とします。
\[
\sqrt{1 + \sqrt{3}i} + \sqrt{1 – \sqrt{3}i}
\]
を簡単にしなさい。
ただし、外側の平方根はどちらも実数部が正の値をとるものとする。
\[\begin{align}
\sqrt{1 + \sqrt{3} i} + \sqrt{1 – \sqrt{3} i} &= \sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i} + \sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} i} \right) \\
&= \sqrt{2} \left\{ \left({\rm e}^{\frac{\pi}{3}i} \right)^{\frac{1}{2}} + \left({\rm e}^{- \frac{\pi}{3}i} \right)^{\frac{1}{2}} \right\} \\
&= \sqrt{2} \left({\rm e}^{\frac{\pi}{6} i} + {\rm e}^{- \frac{\pi}{6} i} \right) \\
&= \sqrt{2} \cdot 2 \cos\frac{\pi}{6} \\
&= \sqrt{6}
\end{align}\]
\sqrt{1 + \sqrt{3} i} + \sqrt{1 – \sqrt{3} i} &= \sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i} + \sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} i} \right) \\
&= \sqrt{2} \left\{ \left({\rm e}^{\frac{\pi}{3}i} \right)^{\frac{1}{2}} + \left({\rm e}^{- \frac{\pi}{3}i} \right)^{\frac{1}{2}} \right\} \\
&= \sqrt{2} \left({\rm e}^{\frac{\pi}{6} i} + {\rm e}^{- \frac{\pi}{6} i} \right) \\
&= \sqrt{2} \cdot 2 \cos\frac{\pi}{6} \\
&= \sqrt{6}
\end{align}\]
