複素変数の関数 $\tan z$ は、$z \neq (1/2 + n)\pi\ (n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ に対して
\begin{align}
\tan z &= \frac{\sin z}{\cos z}
\end{align}
と定義される。
このとき、$\tan z$ に関する加法定理
\begin{align}
\tan(z_1 + z_2) &= \frac{\tan z_1 + \tan z_2}{1 – \tan z_1 \tan z_2}
\end{align}
を証明せよ。
複素変数の $\sin z, \cos z$ の加法定理は、実数変数の場合と同様に成り立つことは既知とする。
$\tan z$ の加法定理の右辺を計算すれば
\begin{align}
\frac{\tan z_1 + \tan z_2}{1 – \tan z_1 \tan z_2} &=
\frac{\frac{\sin z_1}{\cos z_1} + \frac{\sin z_2}{\cos z_2}}{1 – \frac{\sin z_1}{\cos z_1} \frac{\sin z_2}{\cos z_2}} \\
&= \frac{\sin z_1 \cos z_2 + \sin z_2 \cos z_1}{\cos z_1 \cos z_2 – \sin z_1 \sin z_2} \\
&= \frac{\sin(z_1 + z_2)}{\cos(z_1 + z_2)} \\
&= \tan(z_1 + z_2)
\end{align}
が成り立つことが分かる。
