複素関数論

複素積分の計算

複素積分
\begin{align}
\int_C \frac{5}{z^2 + 1} {\rm d} z
\end{align}
の値を求めよ。なお、積分路 $C$ は複素平面上において、$i$ を中心とし、半径1の円とする。

被積分関数
\begin{align}
\frac{5}{z^2 + 1}
\end{align}
の極は $z = \pm i$ であり、2つの極はどちらも位数が1の極である。

積分路 $C$ に含まれる極は $z = i$ であるので、この積分値を $I$ とすると留数定理により
\begin{align}
I &= 2 \pi i \lim_{z \to i} (z – i) \frac{5}{z^2 + 1} \\
&= 5 \pi
\end{align}
と求まる。