\(xyz\)空間の1次変換
\[
f:
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
-2 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 5 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
\]
によって、直線
\[
\frac{4 – x}{3} = y – 2 = \frac{z + 1}{2}
\]
はどのような図形に移るでしょうか。その図形の方程式を求めなさい。
直線の方程式をパラメータ表示する。
\[
\frac{4 – x}{3} = y – 2 = \frac{z + 1}{2} = t
\]
とすると
\[\begin{align}
x &= 4 – 3 t \\
y &= t + 2 \\
z &= 2 t – 1
\end{align}\]
となる。これを一次変換\(f\)によってどのように移るかを考える。
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
-2 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 5 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
4 – 3 t \\
t + 2 \\
2 t – 1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
11 t – 3 \\
11 t – 3 \\
\end{array}
\right)
\]
従って、\(f\)によって移った先の図形は\(x = 0, y = z\)なる直線である。
\[
\frac{4 – x}{3} = y – 2 = \frac{z + 1}{2} = t
\]
とすると
\[\begin{align}
x &= 4 – 3 t \\
y &= t + 2 \\
z &= 2 t – 1
\end{align}\]
となる。これを一次変換\(f\)によってどのように移るかを考える。
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
-2 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 5 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
4 – 3 t \\
t + 2 \\
2 t – 1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
11 t – 3 \\
11 t – 3 \\
\end{array}
\right)
\]
従って、\(f\)によって移った先の図形は\(x = 0, y = z\)なる直線である。
