線形代数

行列のランク

次の行列\(A\)の階数(ランク)を求めなさい。
\[
A =
\left(
\begin{array}{ccccc}
3 & -3 & 1 & 5 & 9 \\
8 & -11 & 0 & 11 & 22 \\
-3 & 12 & 7 & 2 & -3 \\
7 & -13 & -3 & 7 & 17 \\
\end{array}
\right)
\]

行列の「行」と「列」の基本変形を繰り返す。

まず、1行3列目の1に注目して、1行目を3列以外は全て0にする。
\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
8 & -11 & 0 & 11 & 22 \\
-24 & 33 & 7 & -33 & -66 \\
16 & -22 & -3 & 22 & 44 \\
\end{array}
\right)
\]
1列目、2列目、4列目、5列目を2行目が1になるようにする。
\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
-3 & -3 & 7 & -3 & -3 \\
2 & 2 & -3 & 2 & 2 \\
\end{array}
\right)
\]
1列目を残して、2列目、4列目、5列目を消す。
\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-3 & 0 & 7 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -3 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\]
1行目の1を使って、4行目、5行目を消す。同時に2行目の1を使って、3行目、4行目を消す。
\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\]
従って
\[
{\rm rank}A = 2
\]
となる。