線形代数

空間図形

座標空間において3点
\[\begin{align}
A&=(0,1,1) \\
B&=(2,2,3) \\
C&=(4,0,2)
\end{align}\]
を通る平面に関して点\((9,1,1)\)と対称な点の座標を求めなさい。

\[\begin{align}
\overrightarrow{AB} &= (2, 2, 3) – (0, 1, 1) = (2, 1, 2) \\
\overrightarrow{AC} &= (4, 0, 2) – (0, 1, 1) = (4, -1, 1)
\end{align}\]
の二つのベクトルは3点\(A, B, C\)を通る平面内にある。

この二つのベクトルに垂直なベクトルが、求める平面の法線ベクトルとなる。
そのようなベクトルを求めるには、例えば、これらのベクトルのベクトル積を求めれば良い。
\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (3, 6, -6)
\]
従って、この平面の法線ベクトル\(\vec{n}\)は\(\vec{n} = (1, 2, – 2)\)として良い。
今、点\(A = (0, 1, 1)\)を通るので、この平面の方程式は
\[\begin{align}
(x – 0) + 2(y – 1) -2 (z – 1) &= 0 \\
x + 2 y – 2 z &= 0
\end{align}\]
と求まる。

さらに、点\((9, 1, 1)\)を通り、この平面に垂直な直線はパラメータ\(t\)を用いて
\[
(9, 1, 1) + t(1, 2, -2) = (9 + t, 1 + 2 t, 1 – 2 t)
\]
と表すことが出来る。\(t=0\)の時が点\((9, 1, 1)\)である。
また、この直線と平面の交点を求めると
\[\begin{align}
(9 + t) + 2(1 + 2 t) – 2(1 – 2 t) &= 0 \\
9 t + 9 &=0 \\
t &= -1
\end{align}\]
なる時に平面と交わる。

従って、\(t = -2\)に対応する点が求める点の座標となる。
\[
(9 – 2, 1 + -4, 1 + 4) = (7, -3, 5)
\]