\(n\)次元線形空間\(R^n\)から\(m\)次元線形空間\(R^m\)への線形写像\(f\)について、\({\rm Im}f, {\rm Ker}f\)を
\[\begin{align}
{\rm Im}f &= \{f(x)|x \in R^m\} \\
{\rm Ker}f &= \{x | x \in R^n, f(x) = O_m\}\ \mbox{（ここに\(O_m\)は\(R^m\)の零ベクトル）}
\end{align}\]
と定義する。このとき、次の問いに答えよ。
(1) \({\rm Ker}f\)は\(R^n\)の線形部分空間であり、\({\rm Im}f\)は\(R^m\)の線形部分空間であることを示せ。
(2) 行列
\[
A =
\left(
\begin{array}{ccccc}
3 & -3 & 2 & -2 & 3 \\
5 & 4 & 2 & 1 & -2 \\
7 & 2 & -2 & -1 & -4 \\
-2 & 5 & 0 & 3 & -3 \\
\end{array}
\right)
\]
の定める\(R^5\)から\(R^4\)への線形写像\(f\)において、\({\rm Im}f\)と\({\rm Ker}f\)の次元をそれぞれ求めよ。
\(\forall \vec{x}, \vec{y} \in {\rm Ker}f\)とすると、\(\forall \alpha, \beta \in R\)に対して
\[
f(\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}) = \alpha f(\vec{x}) + \beta f(\vec{y}) = \alpha O_m + \beta O_m = O_m
\]
となるので、\(\alpha \vec{x} + \beta \vec{y} \in {\rm Ker}f\)となる。
従って、\({\rm Ker}f\)は\(R^n\)の線形部分空間である。
\(\forall \vec{u},\vec{v} \in {\rm Im}f\)とすると、\(\exists \vec{x}, \vec{y} \in R^n, f(x) = u, f(y) = v\)となる。
従って\(\forall \alpha, \beta \in R\)に対して
\[
\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} = \alpha f(\vec{x}) + \beta f(\vec{y}) = f(\alpha \vec{x} + \beta \vec{y})
\]
となるので、\(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} \in {\rm Im}f\)となる。
従って、\({\rm Im}f\)は\(R^m\)の線形部分空間である。
(2) 行列\(A\)に対して、各行に対して基本変形を行う。
\[\begin{align}
\left(
\begin{array}{ccccc}
3 & -3 & 2 & -2 & 3 \\
5 & 4 & 2 & 1 & -2 \\
7 & 2 & -2 & -1 & -4 \\
-2 & 5 & 0 & 3 & -3 \\
\end{array}
\right) &\to
\left(
\begin{array}{ccccc}
5 & 4 & 2 & 1 & -2 \\
13 & 5 & 6 & 0 & -1 \\
12 & 6 & 0 & 0 & -6 \\
-17 & -7 & -6 & 0 & 3 \\
\end{array}
\right)
\\
&\to
\left(
\begin{array}{ccccc}
-21 & -6 & -10 & 1 & 0 \\
13 & 5 & 6 & 0 & -1 \\
-66 & -24 & -36 & 0 & 0 \\
22 & 8 & 12 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right) \\
&\to
\left(
\begin{array}{ccccc}
-21 & -6 & -10 & 1 & 0 \\
13 & 5 & 6 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
22 & 8 & 12 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right) \\
&\to
\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{5}{2} & -\frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
11 & 4 & 6 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right) \\
&\to
\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{5}{2} & -\frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 \\
-2 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{11}{6} & \frac{2}{3} & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right) \\
&\to
\left(
\begin{array}{ccccc}
-2 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
\frac{5}{2} & -\frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 \\
\frac{11}{6} & \frac{2}{3} & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\end{align}\]
となり、行列\(A\)のrankは\(3\)と求まる。
従って、
\[
{\rm dim}({\rm Im}f) = 3
\]
となり、
\[
{\rm dim}R^5 = {\rm dim}({\rm Im}f) + {\rm dim}({\rm Ker}f)
\]
から
\[
{\rm dim}({\rm Ker}f) = {\rm dim}R^5 – {\rm dim}({\rm Im}f) = 5 – 3 = 2
\]
と求まる。
ここで利用した
\[
{\rm dim}R^5 = {\rm dim}({\rm Im}f) + {\rm dim}({\rm Ker}f)
\]
なる関係は「次元定理」と呼ばれ、非常に重要である。
