固有値の計算

固有値を求める方程式は次のようになる。
\[\begin{align}
\begin{array}{|cccc|}
11 – \lambda & 8 & 5 & 10 \\
14 & 1 – \lambda & 4 & 15 \\
2 & 13 & 16 – \lambda & 3 \\
7 & 12 & 9 & 6 – \lambda \\
\end{array} &=
\begin{array}{|cccc|}
34 – \lambda & 34 – \lambda & 34 – \lambda & 34 – \lambda \\
14 & 1 – \lambda & 4 & 15 \\
2 & 13 & 16 – \lambda & 3 \\
7 & 12 & 9 & 6 – \lambda \\
\end{array} \\
&=(34 – \lambda)
\begin{array}{|cccc|}
1 & 1 & 1 & 1 \\
14 & 1 – \lambda & 4 & 15 \\
2 & 13 & 16 – \lambda & 3 \\
7 & 12 & 9 & 6 – \lambda \\
\end{array} \\
&=(34 – \lambda)
\begin{array}{|cccc|}
1 & 0 & 0 & 0 \\
14 & – 13 – \lambda & -10 & 1 \\
2 & 11 & 14 – \lambda & 1 \\
7 & 5 & 2 & -1 – \lambda \\
\end{array} \\
&=(34 – \lambda)
\begin{array}{|ccc|}
0 & 0 & 1 \\
24 + \lambda & 24 – \lambda & 1 \\
– \lambda^2 -14 \lambda – 8 & – 8 -10 \lambda & -1 – \lambda \\
\end{array} \\
&=(34 – \lambda)
\begin{array}{|cc|}
24 + \lambda & 24 – \lambda \\
– \lambda^2 – 14 \lambda – 8 & – 8 -10 \lambda \\
\end{array} \\
&=(34 – \lambda)
\begin{array}{|cc|}
24 + \lambda & – 2 \lambda \\
– \lambda^2 – 14 \lambda – 8 & 4 \lambda + \lambda^2 \\
\end{array} \\
&=(34 – \lambda) \lambda
\begin{array}{|cc|}
24 + \lambda & -2 \\
– \lambda^2 – 14 \lambda – 8 & \lambda + 4 \\
\end{array} \\
&=\lambda (34 – \lambda)\left\{(24 + \lambda)(\lambda + 4) – 2(\lambda^2 + 14 \lambda + 8)\right\} \\
&=\lambda (34 – \lambda)(80 – \lambda^2) \\
&=\lambda (34 – \lambda)(4 \sqrt{5} – \lambda)(-4\sqrt{5} – \lambda)
\end{align}\]

従って、固有値は
\[
0,\ 34,\ \pm 4 \sqrt{5}
\]
と求まる。