固有値と固有ベクトル

(1) 固有値を求める固有方程式\(D(\lambda)\)は
\[\begin{align}
D(\lambda) &=
\begin{array}{|ccc|}
-\lambda & \cos C & \cos B \\
\cos B & -\lambda & \cos A \\
\cos B & \cos A & – \lambda \\
\end{array} \\
&= – \lambda^3 + (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C) \lambda + 2 \cos A \cos B \cos C
\end{align}\]
となる。
ここで、\(A, B, C\)は三角形の内角であるので\(A + B + C = \pi\)が成り立つので
\[\begin{align}
\cos B &= \cos(\pi – A – C) \\
&= -\cos(A + C) \\
&= \sin A \sin C – \cos A \cos C
\end{align}\]
が成り立つ。

今、\(1\)が行列\(P\)の固有値であることを示したいので、\(D(1) = 0\)が言えれば良い。実際に
\[\begin{align}
D(1) &= -1 + (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C) + 2 \cos A \cos B \cos C \\
&= -1 + \cos^2 A + (\sin A \sin C – \cos A \cos C)^2 + \cos^2 C \\
&\ \ \ + 2 \cos A (\sin A \sin C – \cos A \cos C) \cos C \\
&= -1 + \cos^2 A + \sin^2 A \sin^2 C + \cos^2 A \cos^2 C – 2 \sin A \cos A \sin C \cos C + \cos^2 C \\
&\ \ \ + 2 \sin A \cos A \sin C \cos C – 2 \cos^2 A \cos^2 C \\
&= -1 + \cos^2 A + (1 – \cos^2 A)(1 – \cos^2 C) + \cos^2 A \cos^2 C + \cos^2 C – 2 \cos^2 A \cos^2 C \\
&=0
\end{align}\]
となるので、\(1\)は行列\(P\)の固有値である。

(2) (1)で\(1\)が行列\(P\)の固有値であることが分かったので、固有値方程式\(D(\lambda)\)は\((\lambda – 1)\)を因数に持つことが分かる。実際に、\(D(\lambda)\)を\((\lambda – 1)\)で割ると
\[
D(\lambda) = (\lambda – 1) (- \lambda^2 – \lambda + (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C – 1))
\]
となる。
\[
D(1) = 0
\]
の関係式から、これは
\[
D(\lambda)= – (\lambda – 1)(\lambda^2 + \lambda + 2 \cos A \cos B \cos C)
\]
と変形出来る。
従って、残り2つの固有値は
\[
\lambda = \frac{1}{2}(- 1 \pm \sqrt{1 – 8 \cos A \cos B \cos C})
\]
と求まる。

(3) \(\lambda = 1\)に対する固有ベクトル\(u_x, u_y, u_z)\)は
\[\begin{align}
– u_x + \cos C u_y + \cos B u_z &= 0 \\
\cos C u_x – u_y + \cos A u_z &= 0 \\
\cos B u_x + \cos A u_y – u_z &= 0
\end{align}\]
を解いて求まる。

\(u_x\)を消去すると
\[
– \sin^2 C u_y + (\cos A + \cos B \cos C) u_z = 0
\]
なる方程式が得られるが、これは
\[
– \sin^2 C u_y + \sin B \sin C u_z = 0
\]
と変形できるので、例えば
\[\begin{align}
u_y &= \sin B \\
u_z &= \sin C
\end{align}\]
が解の1つとなり、この時、
\[
u_x = \sin A
\]
となる。
従って、固有値\(1\)に属する固有ベクトルは\(k\)を\(0\)でない任意の複素数として
\[
k (\sin A, \sin B, \sin C)
\]
と求まる。