\(0\)以上の整数値をとる確率変数\(X\)が下の確率分布に従うとき、次の問いに答えなさい。
\[
P(X = k) = \frac{3}{8} \left(\frac{5}{8}\right)^k\ \mbox{(\(k\)は\(0\)以上の整数)}
\]
(1) \(X\)の平均を求めなさい。
(2) \(X\)の分散を求めなさい。
\(X\)の平均と分散を求めるために、\(|r| < 1\)として、次の無限級数を計算する。
\[\begin{align}
\frac{1}{1 – r} &= 1 + r^1 + r^2 + r^3 + r^4 + r^5 + \cdots \\
\frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 – r}\right) &= 1 r^0 + 2 r^1 + 3 r^2 + 4 r^3 + 5 r^4 + \cdots \\
r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 – r}\right) &= 1 r^1 + 2 r^2 + 3 r^3 + 4 r^4 + 5 r^5 + \cdots \\
\frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 – r}\right)\right) &= 1^2 r^0 + 2^2 r^1 + 3^2 r^2 + 4^2 r^3 + 5^2 r^4 + \cdots \\
r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 – r}\right)\right) &= 1^2 r^1 + 2^2 r^2 + 3^2 r^3 + 4^2 r^4 + 5^2 r^5 + \cdots
\end{align}\]
(1) \(X\)の平均\(\langle X \rangle \)は\(r = \frac{5}{8}\)として
\[\begin{align}
\langle X \rangle &= \sum_{k = 0} k P(X = k) \\
&= \sum_{k = 1} k \frac{3}{8} r^k \\
&= \frac{3}{8} ( 1 r^1 + 2 r^2 + 3 r^3 + \cdots ) \\
&= \frac{3}{8} r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 – r}\right) \\
&= \frac{3}{8} \frac{r}{(1 – r)^2} \\
&= \frac{5}{3}
\end{align}\]
(2) 同様にして、\(X\)の分散\(\sigma\)は
\[\begin{align}
\langle X^2 \rangle &= \sum_{k = 0} k^2 \frac{3}{8} r^k \\
&= \frac{3}{8} r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 – r}\right)\right) \\
&= \frac{3}{8} \frac{r (1 + r)}{(1 – r)^3} \\
&= \frac{65}{9}
\end{align}\]
に注意して
\[\begin{align}
\sigma &= \langle X^2 \rangle – \langle X \rangle^2 \\
&= \frac{65}{9} – \frac{25}{9} \\
&= \frac{40}{9}
\end{align}\]
と求まる。
