Pauli行列の性質2｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$σ_{x}, σ_{y}, σ_{x}$ を Pauli 行列（参照問題）とし、 $σ_{0}$ を2行2列の単位行列とし、次の行列 $σ_{θ, ϕ}$ を定義する。
$σ_{θ, ϕ} = \sin θ \cos ϕ σ_{x} + \sin θ \sin ϕ σ_{y} + \cos θ σ_{z}$
このとき、
$σ_{θ, ϕ}^{2} = σ_{0}$
を示し、
$\exp [- i \frac{φ}{2} σ_{θ, ϕ}] = \cos \frac{φ}{2} σ_{0} - i \sin \frac{φ}{2} σ_{θ, ϕ}$
が成り立つことを示せ。

また、 $σ_{z}$ の2つの固有状態を
$| 0 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | 1 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$
と表記するとき、次で定義される状態 $| θ, ϕ ⟩, | θ + π, ϕ ⟩$ は $σ_{θ, ϕ}$ の固有状態であり、その固有値は各々 $1$ と $- 1$ であることを示せ。
$\begin{aligned} | θ, ϕ ⟩ & = e^{- i ϕ / 2} \cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + e^{i ϕ / 2} \cos \frac{θ}{2} | 1 ⟩ \\ | θ + π, ϕ ⟩ & = e^{- i ϕ / 2} \sin \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + e^{i ϕ / 2} \cos \frac{θ}{2} | 1 ⟩ \end{aligned}$

\begin{aligned} σ_{θ, ϕ} & = (\sin^{2} θ \cos^{2} ϕ + \sin^{2} θ \sin^{2} ϕ + \cos^{2} θ) σ_{0} + \\ \sin^{2} θ \cos ϕ \sin ϕ {σ_{x}, σ_{y}} + \sin θ \cos θ \cos ϕ {σ_{x}, σ_{z}} + \sin θ \cos θ \sin ϕ {σ_{y}, σ_{z}} \\ = σ_{0} \end{aligned}

ここで、前の問題の結果を用いた。

$\exp [- i \frac{φ}{2} σ_{θ, ϕ}] = \cos \frac{φ}{2} σ_{0} - i \sin \frac{φ}{2} σ_{θ, ϕ}$
の証明についても $σ_{θ, ϕ}^{2} = σ_{0}$ が成り立つことから、前の問題と全く同様の計算で示すことが出来る。

$\begin{aligned} σ_{x} | 0 ⟩ & = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) = | 1 ⟩ \\ σ_{y} | 0 ⟩ & = (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ i \end{array}) = i | 1 ⟩ \\ σ_{z} | 0 ⟩ & = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = | 0 ⟩ \\ σ_{x} | 1 ⟩ & = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = | 0 ⟩ \\ σ_{y} | 1 ⟩ & = (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - i \\ 0 \end{array}) = - i | 0 ⟩ \\ σ_{z} | 1 ⟩ & = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) = - | 1 ⟩ \end{aligned}$
を用いれば
$\begin{aligned} σ_{θ, ϕ} | θ, ϕ ⟩ & = e^{- i ϕ / 2} \cos \frac{θ}{2} (\sin θ \cos ϕ | 1 ⟩ + i \sin θ \sin ϕ | 1 ⟩ + \cos θ | 0 ⟩) + \\ e^{i ϕ / 2} \sin \frac{θ}{2} (\sin θ \cos ϕ | 0 ⟩ - i \sin θ \sin ϕ | 0 ⟩ - \cos θ | 1 ⟩) \\ = e^{- i ϕ / 2} \cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + e^{i ϕ / 2} \cos \frac{θ}{2} | 1 ⟩ \\ = | θ, ϕ ⟩ \end{aligned}$
となり、 $| θ, ϕ ⟩$ は $σ_{θ, ϕ}$ の固有値 $1$ の固有状態であることが分かる。