Pauli行列の性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

以下で定義される $σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}$ を Pauli 行列という。
$σ_{x} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}), σ_{y} = (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}), σ_{z} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})$
Pauli 行列は以下の関係式を満たすことを示せ。

(1)
$\begin{aligned} σ_{x}^{2} = σ_{y}^{2} & = σ_{z}^{2} = σ_{0} \\ [σ_{x}, σ_{y}] & = 2 i σ_{z} \\ [σ_{y}, σ_{z}] & = 2 i σ_{x} \\ [σ_{z}, σ_{x}] & = 2 i σ_{y} \\ {σ_{x}, σ_{y}} & = {σ_{y}, σ_{z}} = {σ_{z}, σ_{x}} = 0 \end{aligned}$
ここに、 $σ_{0}$ は2行2列の単位行列であり、 $[\cdot, \cdot], {\cdot, \cdot}$ は各々 $[A, B] = A B - B A, {A, B} = A B + B A$ で定義される、交換関係と反交換関係である。

(2)
$\begin{aligned} \exp [- i \frac{φ}{2} σ_{x}] & = \cos \frac{φ}{2} σ_{0} - i \sin \frac{φ}{2} σ_{x} \\ \exp [- i \frac{φ}{2} σ_{y}] & = \cos \frac{φ}{2} σ_{0} - i \sin \frac{φ}{2} σ_{y} \\ \exp [- i \frac{φ}{2} σ_{z}] & = \cos \frac{φ}{2} σ_{0} - i \sin \frac{φ}{2} σ_{z} \end{aligned}$
ここに行列の指数関数 $\exp [A]$ は以下で定義される。
$\exp [A] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^{n}$

(1)

\begin{aligned} σ_{x}^{2} & = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = σ_{0} \\ σ_{y}^{2} & = (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = σ_{0} \\ σ_{z}^{2} & = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = σ_{0} \end{aligned}

$\begin{aligned} σ_{x} σ_{y} & = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) = i (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) = i σ_{z} \\ σ_{y} σ_{x} & = (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = - i (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) = - i σ_{z} \\ σ_{y} σ_{z} & = (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) = i (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = i σ_{x} \\ σ_{z} σ_{y} & = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) = - i (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = - i σ_{x} \\ σ_{z} σ_{x} & = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) = i σ_{y} \\ σ_{x} σ_{z} & = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = - i σ_{y} \end{aligned}$

以上の関係式から、示すべき式は明らかに成立することが分かる。

(2)

$\begin{aligned} \exp [- i \frac{φ}{2} σ_{x}] & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} {(- i \frac{φ}{2} σ_{x})}^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k)!} {(- i \frac{φ}{2} σ_{x})}^{2 k} + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1)!} {(- i \frac{φ}{2} σ_{x})}^{2 k + 1} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k)!} {(\frac{φ}{2})}^{2 k} σ_{0} - i \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1)!} {(\frac{φ}{2})}^{2 k + 1} σ_{x} \\ = \cos \frac{φ}{2} σ_{0} - i \sin \frac{φ}{2} σ_{x} \end{aligned}$
ここで(1)の結果である $σ_{x}^{2} = σ_{0}$ を使った。