$[\cdot, \cdot]$ を交換関係、$\{\cdot, \cdot\}$ を反交換関係とするとき、次式を証明せよ。
\begin{align}
[AB, CD] &= – AC\{D, B\} + A\{C, B\} D \\
&\ \ \ \ \ – C\{D, A\} B + \{C, A\} D B
\end{align}
左辺を計算すると
\begin{align}
ABCD – CDAB
\end{align}
となる。一方で、右辺を計算すると
\begin{align}
&- AC(DB + BD) + A(CB + BC) D – C(DA + AD) B + (CA + AC) DB \\
&=
– ACDB – ACBD + ACBD + ABCD – CDAB – CADB + CADB + ACDB \\
&= ABCD – CDAB
\end{align}
となり、両辺は等しいことが分かる。
\begin{align}
ABCD – CDAB
\end{align}
となる。一方で、右辺を計算すると
\begin{align}
&- AC(DB + BD) + A(CB + BC) D – C(DA + AD) B + (CA + AC) DB \\
&=
– ACDB – ACBD + ACBD + ABCD – CDAB – CADB + CADB + ACDB \\
&= ABCD – CDAB
\end{align}
となり、両辺は等しいことが分かる。
